x^x의 0에서의 우극한

아래 극한값을 구해봅시다. 

 

$\lim_{x\rightarrow +0}x^x$

 

$x^x$를 아래와 같이 변형합니다. 

 

$\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{\ln x^x}$

 

아래와 같이 지수부분을 앞으로 내려줍니다. 

 

$\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}$

 

x를 $\frac{1}{t}$로 치환합니다. 

 

$\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}=\lim_{t\rightarrow \infty}e^{\frac{1}{t}\ln \frac{1}{t}}$

 

로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. 

 

$\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}=\lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\frac{1}{t}\ln t}$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}=\lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\frac{\ln t}{t}}$

 

극한기호를 지수부분으로 옯겨줍니다. 

 

$\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}=e^{\lim_{t\rightarrow \infty}-\frac{\ln t}{t}}$

 

로피탈 정리를 적용합니다. 

 

$\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}=e^{\lim_{t\rightarrow \infty}-\frac{1}{t}}$

 

우변의 극한은 0으로 수렴합니다. 

 

$\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}=e^{0}$

 

따라서 아래와 같은 결과를 얻습니다. 

 

$\lim_{x\rightarrow +0}x^x=\lim_{x\rightarrow +0}e^{x\ln x}=1$

 

 

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