y=x^x 를 미분해봅시다.

오늘은 $y=x^x$ 라는 함수를 x로 미분해봅시다. 

 

먼저 양변에 자연로그를 취합니다. 

 

$\ln y=\ln x^x$

 

로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. 이 식을 1번 식이라고 놓겠습니다. 

 

$\ln y=x\ln x$     (1)

 

양변을 x로 미분합시다. 

 

$\frac{d(\ln y)}{dx}=\ln x+1$

 

체인룰을 사용하여 아래와 같이 변형합니다. 

 

$\frac{d(\ln y)}{dy}\frac{dy}{dx}=\ln x+1$

 

좌변을 미분합니다. 

 

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln x+1$

 

아래와 같이 y를 우변으로 보냅니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=y\left (\ln x+1  \right )$

 

$y=x^x$ 이므로 아래와 같이 대입합니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=x^x\left (\ln x+1  \right )$

 

미분이 완료되었습니다.

 

더 간단한 방법으로도 미분이 가능합니다. 1번 식을 가져옵시다. 

 

$\ln y=x\ln x$     (1)

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$y=e^{x\ln x}$

 

양변을 x로 미분합니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=e^{x\ln x}(\ln x+1)$