미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 1편

$e^x$를 미분하면 $e^x$ 입니다. 미분해도 자기 자신이 나오는 함수입니다. $e^x$ 뿐 아니라 $2e^x$ 도 미분하면 자기자신이 나오고, $3e^x$ 도 미분하면 자기 자신이 나옵니다. 따라서 $Ae^x$ 는 미분하면 자기자신이 나오는 함수라고 할 수 있습니다. 

 

반대로 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 $Ae^x$ 밖에는 없을까요? 

 

대답은 Yes 입니다. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 $Ae^x$ 밖에 없습니다. 왜 그런지 알아봅시다. 

 

미분해서 자기자신이 나오는 함수를 $y=f(x)$라고 놓아봅시다. 미분해서 자기자신이 나온다면 아래 등식이 성립합니다. 

 

$f'(x)=f(x)$

 

y를 이용해서 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$y'=y$

 

$y'$을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=y$

 

이항하여 아래와 같이 변형합니다. 

 

$\frac{1}{y}dy=dx$

 

양변에 적분을 취합니다. 

 

$\int \frac{1}{y}dy=\int dx$

 

적분하면 아래와 같습니다. 

 

$\ln\left | y \right |+C_{1}=x+C_{2}$

 

적분상수를 하나로 합쳐줍니다. 

 

$\ln\left | y \right |=x+C$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\left | y \right |=e^{x+C}$

 

절댓값을 벗겨줍니다. 

 

$y=\pm e^{x+C}$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$y=\pm e^{C}e^{x}$

 

아래와 같이 치환해줍니다. 

 

$y=Ae^{x}$

 

미분해서 자기 자신이 나오는 함수가 위 함수임을 보였습니다. 

 

참고자료

1) https://math.stackexchange.com/questions/1291511/are-the-any-non-trivial-functions-where-fx-fx-not-of-the-form-aex

 

2) https://math.stackexchange.com/questions/2659142/why-is-ex-the-only-function-that-is-its-own-derivative