[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (16) 거듭제곱근의 성질 ⑤ 거듭제곱근의 거듭제곱근

 

거듭제곱근의 성질  ⑤ 거듭제곱근의 거듭제곱2

거듭제곱근의 성질 다섯번째 입니다. m과 n이 2 이상의 자연수이고 a는 0보다 큰 실수일 때, 아래 등식이 성립한다는 것을 보여봅시다.

 

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$

 

우리는 n이 자연수인 경우만 배운 상태입니다. 따라서 n은 2 이상의 자연수로 제한합니다. a가 음수라면 허수인 제곱근이 발생할 수 있으므로, a는 양수로 제한합니다. 허수인 제곱근은 나중에 배우게 됩니다. 

 

위 식의 좌변을 mn제곱해봅시다. 

 

$\left (  \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} \right )^{mn}$

 

지수법칙에 의해 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\left ( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}  \right )^{mn}= \left\{  \left ( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}  \right )^{m} \right\}^n= \left ( \sqrt[n]{a} \right ) ^n= a$

 

따라서 $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ 은 $a$ 의 mn 제곱근입니다. a가 양수이므로 양의 mn제곱근입니다. 따라서  $\sqrt[mn]{a}$ 와 같습니다. 

 

$\left (  \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} \right )^{mn}$ 도 같은 방법으로 증명하면 a의 양의 mn 제곱근이 됩니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

 

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$