[5분 고등수학 ] 쌍곡선의 방정식의 평행이동과 일반형

 

 

지난시간에 x축위에 초점이 있는 쌍곡선의 방정식과, y축 위에 초점이 있는 쌍곡선의 방정식을 유도했습니다. 

<x축 위에 초점>            

 

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

 

<y축 위에 초점>

 

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1$

 

오늘은 이 방정식을 평행이동해보겠습니다. x 축으로 m 만큼, y 축으로 n 만큼 평행이동하면 아래 수식이 됩니다. 

 

$\frac{\left ( x-m \right )^{2}}{a^{2}}-\frac{\left ( y-n \right )^{2}}{b^{2}}=\pm 1$

 

이 수식을 이용하면 x축 또는 y축과 평행한 직선 위에 초점이 있는 모든 쌍곡선을 표현할 수 있습니다. 고등학교 과정에서는 기울어진 직선 위에 초점이 있는 경우를 다루지 않기 떄문에, 위 식을 가지고 고등과정에서 등장하는 모든 쌍곡선을 표현할 수 있습니다. 

 

위 수식을 전개해보겠습니다. 양변에 $a^{2}b^{2}$을 곱합니다. 

 

$b^{2}\left ( x-m \right )^{2}-a^{2}\left ( y-n \right )^{2}=\pm a^{2}b^{2}$

 

제곱항을 전개합니다. 

 

$b^{2}\left ( x^{2}-2mx+m^{2} \right )-a^{2}\left (  y^{2}-2ny+n^{2} \right )=\pm a^{2}b^{2}$

 

괄호를 풀어줍니다. 

 

$b^{2}x^{2}-2b^{2}mx+b^{2}m^{2} -a^{2}y^{2}+2a^{2}ny-a^{2}n^{2} =\pm a^{2}b^{2}$

 

아래와 같이 x와 y에 대해 내림차순으로 정리합니다. 

 

$b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}-2b^{2}mx+2a^{2}ny+b^{2}m^{2} -a^{2}n^{2} \mp a^{2}b^{2} =0$

 

계수를 간단하게 치환해봅시다. 아래 방정식이 쌍곡선의 방정식의 일반형입니다. 

 

$Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0$

 

두가지 조건이 필요합니다. A와B가 0이면 안되구요. A와 B의 부호가 달라야 합니다. 간단하게 기호를 이용해서 조건을 써보면 아래와 같습니다. 

 

AB < 0

 

쌍곡선의 방정식의 일반형은 타원의 방정식의 일반형과 모양이 같죠? A와 B의 부호로 구분하시면 됩니다. 부호가 같으면 타원, 다르면 쌍곡선입니다. 완전제곱식으로 묶어서 표준형으로 만들어야 그리기가 쉽습니다.