[5분 고등수학] 타원의 방정식의 평행이동과 일반형

지난시간에 중심이 원점인 타원의 방정식을 유도했습니다.
 
$\frac{{x}^2}{{a}^2}+\frac{{y}^2}{{b}^2}=1$
 
이 방정식을 평행이동해보겠습니다. x축으로 m, y축으로 n 평행이동하면 아래와 같이 됩니다.
 
$\frac{{\left(x-m\right)}^2}{{a}^2}+\frac{{\left(y-n\right)}^2}{{b}^2}=1$
 
위 식을 이용하면 두 초점이 모두 x축 위에 있거나 y축 위에 있는 모든 타원을 표현할 수 있습니다.
 
이번에는 위 식을 전개해봅시다. 먼저 양변에 ab의 제곱을 곱해줍시다.
 
${b}^2{\left(x-m\right)}^2+{a}^2{\left(y-n\right)}^2={a}^2{b}^2$
 
전개합시다.
 
${b}^2{x}^2-2mx{b}^2+{b}^2{m}^2+{a}^2{y}^2-2yn{a}^2+{a}^2{n}^2={a}^2{b}^2$
 
미지수를 기준으로 내림차순으로 정리합시다. 차수가 같을 시 x를 먼저 쓰겠습니다.
 
${b}^2{x}^2+{a}^2{y}^2-2m{b}^2x-2n{a}^2y+{b}^2{m}^2+{a}^2{n}^2-{a}^2{b}^2=0$
 
아래와 같이 치환하겠습니다.
 
$A{x}^2+B{y}^2+Cx+Dy+E=0$
 
이 방정식을 타원의 일반형이라고 부릅니다. 이때 몇가지 조건이 필요합니다.
 
먼저 A와 B의 부호가 같아야하고, A와 B 둘다 0이면 안됩니다. 둘 중 하나가 0이면 포물선이 되고, 둘다 0이면 직선이 됩니다.
 
조건1 : AB > 0
 
두번째 조건은 A와 B가 달라야합니다. A와 B가 같으면 원이 됩니다. 물론 타원이 원을 포함하는 개념이지만, 우리가 다루고 있는 타원은 원이 아닌 타원입니다.
 
조건 2 : AB ≠ 0