[5분 고등수학] 지수함수의 미분법 (도함수)

 

 

지수함수는 아래와 같이 두 종류가 있습니다. 밑이 실수 a인 경우와 밑이 e인 경우입니다. e도 실수에 포함되지만 특별한 성질이 있어서 따로 분류하였습니다.  

$a^{x}$

$e^{x}$

각각의 미분방법을 알아봅시다.

 

1) $a^{x}$ 의 미분

도함수의 정의를 적용하면 아래와 같습니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x+h}-a^{x}}{h}$

아래와 같이 묶어줍니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{x}\left( a^{h}-1 \right)}{h}$

극한과 무관한 항을 밖으로 꺼내줍니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}= a^{x} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ a^{h}-1 }{h}$

지난 시간에 지수함수와 로그함수의 극한을 배웠는데요. 위 극한값은 $\text{ln}a$ 입니다. 따라서 도함수는 아래와 같습니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}= a^{x} \text{ln}a$

 

 

2) $e^{x}$ 의 미분

위에서 구한 도함수에소, a 자리에 e를 넣으면 됩니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}= e^{x} \text{ln}e$

$\text{ln}e$ 는 1입니다. 

$y'=\frac{dy}{dx}= e^{x}$

위에서 말한 특별한 성질이 뭔지 아시겠죠? $e^{x}$ 는 미분을 해도 자기 자신이 됩니다.

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아래는 오늘 내용의 요약입니다. 

$a^{x}$의 도함수는 $a^{x} \text{ln}a$ 이다.

$e^{x}$의 도함수는 $e^{x}$ 이다.