[5분 고등수학] 포물선과 직선의 넓이 공식

 

 

미적분의 기본정리를 이용하면 함수의 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다. 물론 어려운 경우도 있는데 구분구적법을 사용했을 때에 비하면 쉽습니다. 

2차함수인 포물선과 1차함수인 직선이 만나면 닫힌영역이 생기는데요. 미적분의 기본정리를 이용하여 이 영역의 넓이를 구하는 방법을 알아봅시다. 아래와 같이 세가지 경우가 있습니다. 

1) 포물선과 x축의 만남
2) 포물선과 직선의 만남
3) 두 포물선의 만남

오늘은 첫번째 경우를 알아봅시다. 

 

1) 포물선과 x축의 만남

포물선이 위로 볼록일 수도 있고, 아래로 볼록일 수도 있으므로 아래와 같은 두가지 경우로 나뉩니다. 

 

포물선의 방정식은 아래와 같습니다. 

 

$y=ax^{2}+bx+c$

 

교점을 아래와 같이 놓겠습니다. 

 

$\alpha, \beta$

 

각 넓이를 적분으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

 

절댓값 기호를 이용하면 두 식을 하나로 만들 수 있습니다. 

 

$S=\int_{\alpha}^{\beta}\left | ax^{2}+bx+c \right |dx$

 

두 근을 이용하면 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$S=\int_{\alpha}^{\beta}\left | a(x-\alpha)(x-\beta) \right |dx$

 

아래와 같이 절댓값을 분리할 수 있습니다. 

 

$S=\int_{\alpha}^{\beta}\left | a \right |\left | (x-\alpha)(x-\beta) \right |  dx$

 

곱해진 항 중 두번째 항은 $\alpha$ 와 $\beta$ 사이에서 항상 음수이므로, 아래와 같이 마이너스를 붙이고 절댓값 기호를 벗길 수 있습니다. 

 

$S=\int_{\alpha}^{\beta}-\left | a \right |(x-\alpha)(x-\beta) dx$

 

a는 상수이므로 적분 밖으로 꺼낼 수 있습니다. 

 

$S=-\left | a \right |\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta) dx$

 

아래와 같이 전개해줍시다. 

 

$S=-\left | a \right |\int_{\alpha}^{\beta}\left ( x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta \right )dx$

 

적분합시다. 

 

$S=-\left | a \right | \left [ \frac{x^{3}}{3}-\frac{(\alpha + \beta)x^{2}}{2}+\alpha \beta x  \right ]^{\beta}_{\alpha}$

 

$S=-\left | a \right | \left [ \frac{\beta^{3}-\alpha^{3}}{3}-\frac{(\alpha + \beta)\left ( \beta^{2}-\alpha^{2} \right )}{2}+\alpha \beta \left ( \beta -\alpha \right )  \right ]$

 

아래와 같이 인수분해해줍니다. 

 

$S=-\left | a \right | (\beta - \alpha)
\left [ \frac{\beta^{2}+\beta \alpha+ \alpha^{2}}{3}-\frac{(\alpha + \beta)(\alpha + \beta)}{2}+\alpha \beta   \right ]$

 

통분합시다. 

 

$S=-\left | a \right | (\beta - \alpha)
\left [ \frac{2\beta^{2}+\beta \alpha + 2\alpha^{2}-3\beta^{2}-6\alpha \beta -3\alpha^{2}+6\alpha \beta }{6}   \right ]$

 

분자를 계산해줍시다. 

 

$S=-\left | a \right | (\beta - \alpha)
\left [ \frac{-\beta^{2}-\alpha^{2}+2\beta \alpha }{6}   \right ]$

 

완전제곱식으로 만들어줍시다. 

 

$S=-\left | a \right | (\beta - \alpha)
\left [ \frac{ -\left ( \beta -\alpha \right )^{2} }{6}   \right ]$

 

정리하면 아래와 같습니다. 

 

$S=\left | a \right | \frac{\left ( \beta - \alpha \right )^{3}}{6}$