[5분 고등수학] 미적분의 기본정리

 

 

우리는 지난 글에서 정적분과 미분의 관계를 배운 상태입니다. 정적분과 미분의 관계는 아래와 같습니다. 

함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 $a \leq x \leq b$ 일 때, 아래 등식이 성립한다 .

$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$
 
위 등식을 이용하여 미적분의 기본정리를 증명합니다. 위 등식이 미적분의 기본정리 1 이고, 오늘 유도할 등식은 미적분의 기본정리 2입니다. 고등학교 과정에서는 오늘 유도하는 등식만 미적분의 기본정리라고 부릅니다. 

 

고교과정	대학
정적분과 미분의 관계	미적분의 기본정리 1
미적분의 기본정리	: 미적분의 기본정리 2

우리는 고등학생이므로 오늘 배울 수식을 미적분의 기본정리라고 부르겠습니다. 미적분의 기본정리는 아래와 같습니다. 

함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 f(x)의 임의의 부정적분이 F(x) 일 때, 아래 등식이 성립한다. 

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

설명을 먼저 하고 증명을 하겠습니다. 위 등식의 좌변은 정적분입니다. 정적분은 '넓이' 입니다. 함수 f(x)에서 x=a와 x=b 로 만들어지는 부분의 넓이입니다. 이 넓이가 우변의 부정적분과 같다는 놀라운 정리입니다. 소름이 돋네요. 

정적분과 부정적분은 서로 무관한 개념입니다. 정적분은 함수의 넓이를 구하는 구분구적법에서 나온 개념이고, 부정적분은 미분의 역과정인데 놀랍게도 이 두 개념이 하나의 수식으로 연결된 것입니다. 그럼 뭐가 좋으냐구요? 함수의 넓이를 구하려면 복잡하고 귀찮은 구분구적법을 통해서 계산을 해야 했었는데, 이제는 부정적분을 통해 아주 쉽게 계산할 수 있게 된 것입니다. 

미적분의 기본정리를 유도해봅시다. 정적분과 미분의 관계에서 아래 두 식이 성립합니다. 

$S(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt \qquad (1)$ 
$S'(x)=f(x)$

따라서 S(x)는 f(x)의 부정적분 중 하나입니다. 따라서 f(x)의 부정적분인 F(x)와는 상수항 차이만 존재합니다. 아래 수식이 성립합니다. 

$F(x)=S(x)+C$

양변에 a와 b를 대입하여 빼줍니다. 

$F(b)-F(a)=S(b)-S(a)$

위의 1번 식을 이용하면 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(t)dt-\int_{a}^{a}f(t)dt$

마지막 항은 0입니다. 

$F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(t)dt$

t대신 x를 넣어줍시다. 미적분의 기본정리가 유도되었습니다. 

$F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx$