[5분 고등수학] 정적분의 정의

 

 

정적분에서 '정'은 정해졌다는 의미입니다. 부정적분은 정해지지 않은 적분을 말합니다. 무엇이 정해졌고 정해지지 않은 걸까요? 그 무엇은 바로 '적분구간'입니다. 

부정적분은 미분의 반대개념입니다. 

<미분>
F(x)+c → f(x)

<부정적분>
f(x) → F(x)+c 

기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 

$\int f(x)dx=F(x)+c$

부정적분은 미분에서 나온 개념입니다. 접선의 기울기를 구하는 과정에서 미분이 등장하게 되었고, 미분의 반대개념을 생각하다가 부정정분이 등장했습니다. 

반면 정적분은 미분과 전혀 상관없이 발견되었습니다. 정적분을 부정적분에서 구간이 추가된 것으로 이해하는 경우가 있는데 둘은 완전히 다른 과정에서 발견되었습니다. 

부정적분은 함수의 넓이를 구하는 과정에서 등장했습니다. 구분구적법에서 분할 수 n을 무한대로 보낸 것이 부정적분입니다. 

정적분은 아래와 같이 정의됩니다. 

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b-a}{n}\cdot k \right ) \frac{b-a}{n}$

아래와 같은 함수의 넓이입니다. 정적분은 함수의 넓이를 기호로 나타낸 것입니다. 함수 f(x)에서 x=a에서 x=b까지의 넓이입니다. 

여기서 신기한 일이 벌어지는데 정적분과 부정적분이 연결된 것입니다. 구분구적법이라는 귀찮은 계산을 안해도, 부정적분을 통해 정적분 값을 쉽게 구할 수 있게 된 것입니다. 이를 미적분의 기본정리라고 합니다. 이후에 다루겠습니다.