[5분 고등수학] 삼차방정식의 근의 판별

 

 

3차방정식의 근의 판별을 배워봅시다. 삼차방정식에서 근의 '개수와 종류'를 판별하는 것입니다. 물론 근을 직접 구해보면 알 수 있지만, 근의 정확한 값이 아니라 개수만 알기 원하는 경우 사용할 수 있는 편리한 방법이 있습니다. 바로 '극값'을 이용하여 근의 개수를 판별하는 것입니다. 극값에는 극댓값과 극솟값이 있습니다. 극댓값과 극솟값의 부호를 이용하여 근의 개수를 판별합니다. 삼차방정식이므로 최대 세개의 근을 가질 수 있습니다. 근의 개수의 종류는 아래와 같습니다. 

1) 서로 다른 세 근 
2) 이중근과 다른 한 실근
3) 한 실근과 두 허근

하나씩 알아봅시다. 

 

1) 서로 다른 세 근

서로 다른 세 실근이 존재하는 경우는 아래 그림과 같습니다. 

 

 

극값의 입장에서 설명해봅시다. 위 그래프는 극댓값과 극솟값의 부호가 다릅니다. 삼차방정식의 극댓값과 극솟값의 부호가 다르면 서로 다른 세 실근을 갖습니다. 극댓값과 극솟값의 부호가 다르다는 것을 수식으로 표현하면 아래와 같습니다 .

 

(극댓값)x(극솟값)<0

 

2) 이중근과 다른 한 실근

삼차방정식이 이중근과 다른 한 실근을 갖는 경우 그래프는 아래와 같습니다. 

 

극값의 입장에서 설명해봅시다. 두 극값 중 하나의 극값은 0입니다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

(극댓값)x(극솟값)=0

 

3) 한 실근과 두 허근

삼차방정식이 한 실근과 두 허근을 갖는 경우 그래프는 아래와 같습니다. 

 

 

극값의 입장에서 설명해봅시다. 위 그래프들은 두 극값의 부호가 같습니다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

(극댓값)x(극솟값)>0