[5분 고등수학] 평균값 정리

 

 

우리는 아래 세개의 정리를 배운 상태입니다 .

- 최대최소의 정리
- 사잇값정리
- 롤의 정리

오늘은 평균값 정리를 배워봅시다. 위 세 정리도 고등학교 수준에서 증명하기 어려웠는데 평균값 정리도 그렇습니다. 평균값 정리가 무엇인지 이해만 해봅시다. 

함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능하다고 합시다. 예를 들면 아래와 같은 함수입니다. 

 

이때 아래와 같은 평균변화율을 정의할 수 있습니다. 

 

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

 

이 평균변화율과 같은 미분계수 f'(c) 를 갖는 c가 가 구간 (a,b) 에 적어도 하나 존재한다는 정리가 평균값 정리입니다. 

 

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$

 

그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

 

평균값 정리를 쉽게 기억하려면 '평균 변화율'과 관련된 정리라고 기억하고 위 장면을 떠올리시면 됩니다. 

 

평균값 정리는 롤의 정리의 확장 버전입니다. 평균값정리가 롤의 정리를 포함합니다. 평균값 정리가 성립한다면 롤의 정리도 당연히 성립하는 것입니다. 

왜그럴까요? 평균값 정리에서 f(a)=f(b) 인 경우가 롤의 정리입니다. 

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평균값 정리란? 

함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능하다고 합시다. 이때 구간 (a,b) 에 아래 등식을 만족시키는 c가 적어도 하나 존재합니다. 

 

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$