[5분 고등수학] 자연수의 거듭제곱의 합 (2제곱)

 

자연수 거듭제곱의 합공식을 유도해봅시다. 고등학교에서 배우는 합공식은 세가지입니다. 1제곱의합, 2제곱의합,3제곱의합. 이번 글에서는 1제곱의 합 공식을 유도해보겠습니다. 

 

2제곱의 합공식

1제곱 부터 n제곱 까지의 합입니다. 시그마 기호를 이용한 식으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$\sum_{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+ \cdots + n^{2}$

 

위 공식을 유도해봅시다. 아래 등식에서 출발합니다. 

 

$(k+1)^{3}-k^{3}=3k^{2}+3k+1$

 

등식이 성립한다는 것을 보이는 것은 어렵지 않으므로 넘어가겠습니다. k에 1부터 n까지 대입하면 아래와 같습니다. 

 

$2^{3}-1^{3}=3\cdot 1^{2}+3\cdot 1+1$

 

$3^{3}-2^{3}=3\cdot 2^{2}+3\cdot 2+1$

 

$4^{3}-3^{3}=3\cdot 3^{2}+3\cdot 3+1$

 

...

 

$(n+1)^{3}-n^{3}=3\cdot n^{2}+3\cdot n+1$

 

좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 더해줍니다. 좌변은 소거되서 두개의 항만 남습니다. 우변은 아래와 같이 묶어줄 수 있습니다. 

 

$(n+1)^{3}-1^{3}=3(1^{2}+2^{2}+ \cdots +n^{2})+3(1+2+ \cdots +n)+n$

 

우변을 시그마 형태로 표현해줍시다. 

 

$(n+1)^{3}-1^{3}=3 \sum_{k=1}^{n}k^{2}  +3\sum_{k=1}^{n}k+n$

 

좌변은 전개하여 계산합니다. 

 

$n^{3}+3n^{2}+3n=3 \sum_{k=1}^{n}k^{2}  +3\sum_{k=1}^{n}k+n$

 

우변의 두번째 항을 계산해줍니다. 

 

$n^{3}+3n^{2}+3n=3 \sum_{k=1}^{n}k^{2}  +3 \cdot \frac{n(n+1)}{2}+n$

 

이항하여 아래와 같이 정리해줍니다. 

 

$3 \sum_{k=1}^{n}k^{2} =n^{3}+3n^{2}+3n  -3 \cdot \frac{n(n+1)}{2}-n$

 

통분합니다. 

 

$3 \sum_{k=1}^{n}k^{2} =\frac{2n^{3}+6n^{2}+6n  -3 n(n+1)-2n}{2}$

 

우변의 분자를 계산해줍니다. 

 

$3 \sum_{k=1}^{n}k^{2} =\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{2}$

 

우변의 분자를 n으로 묶어줍니다. 

 

$3 \sum_{k=1}^{n}k^{2} =\frac{n\left (2n^{2}+3n+1  \right )}{2}$

 

 우변 분자의 괄호 안의 수식을 인수분해합니다. 

 

$3 \sum_{k=1}^{n}k^{2} =\frac{n (n+1)(2n+1)}{2}$

 

3으로 양변을 나눠줍니다. 

 

$\sum_{k=1}^{n}k^{2} =\frac{n (n+1)(2n+1)}{6}$

 

완성!