외분점은 '밖에서 나누는 점'이라는 뜻입니다. 외분점은 두 점을 연결하여 만든 선분을 일정한 비율로 나누는 점입니다. 선분 밖에 있는 점으로 말이죠.
먼저 좌표평면 위에 점 두개를 찍어봅시다. 아래 그림과 같이 점 A와 점 B를 찍겠습니다.
선분 ABAB를 m:nm:n 으로 외분하는 점은 m과 n의 대소관계에 따라 아래와 같이 둘로 나뉩니다. 선분 BABA를 m:nm:n 으로 나누는 외분점은 반대편에 생깁니다.
1) 선분 ABAB를 m:nm:n 으로 외분하는 점 (m>nm>n)
m>nm>n인 경우 선분 ABAB를 m:nm:n 외분하는 점은 아래 그림의 점 PP 입니다. 아래와 같이 두개의 삼각형을 그릴 수 있습니다.
삼각형의 닮음을 이용하여 비례식을 세우면 아래와 같습니다.
(x′−x1):(x′−x2)=m:n(x′−x1):(x′−x2)=m:n
비례식을 풀어봅시다.
n(x′−x1)=m(x′−x2)n(x′−x1)=m(x′−x2)
전개합시다.
nx′−nx1=mx′−mx2nx′−nx1=mx′−mx2
x'으로 정리해야하기 때문에 아래와 같이 이항합니다.
mx′−nx′=mx2−nx1mx′−nx′=mx2−nx1
아래와 같이 묶어줍니다.
(m−n)x′=mx2−nx1(m−n)x′=mx2−nx1
양변을 (m-n)으로 나눠줍니다.
x′=mx2−nx1m−nx′=mx2−nx1m−n
이번에는 삼각형의 닮음을 이용하여 y축에서 비례식을 세워봅시다.
(y′−y1):(y′−y2)=m:n(y′−y1):(y′−y2)=m:n
비례식을 풀어봅시다.
n(y′−y1)=m(y′−y2)n(y′−y1)=m(y′−y2)
전개합시다.
ny′−ny1=my′−my2ny′−ny1=my′−my2
y'으로 정리해야하기 때문에 아래와 같이 이항합니다.
my′−ny′=my2−ny1my′−ny′=my2−ny1
아래와 같이 묶어줍니다.
(m−n)y′=my2−ny1(m−n)y′=my2−ny1
양변을 (m-n)으로 나눠줍니다.
y′=my2−ny1m−n
m>n인 경우 선분 AB를 m:n 외분하는 점 (x′,y′) 은 아래와 같습니다.
(x′,y′)=(mx2−nx1m−n,my2−ny1m−n)
2) 선분 AB를 m:n 으로 외분하는 점 (m<n)
m<n인 경우 선분 AB를 m:n 외분하는 점은 아래 그림의 점 P 입니다. 아래와 같이 두개의 삼각형을 그릴 수 있습니다.
삼각형의 닮음을 이용하여 비례식을 세우면 아래와 같습니다.
(x1−x′):(x2−x′)=m:n
비례식을 풀어봅시다.
n(x1−x′)=m(x2−x′)
전개합시다.
nx1−nx′=mx2−mx′
x'으로 정리해야하기 때문에 아래와 같이 이항합니다.
mx′−nx′=mx2−nx1
아래와 같이 묶어줍니다.
(m−n)x′=mx2−nx1
양변을 (m-n)으로 나눠줍니다.
x′=mx2−nx1m−n
이번에는 삼각형의 닮음을 이용하여 y축에서 비례식을 세워봅시다.
(y1−y′):(y2−y′)=m:n
비례식을 풀어봅시다.
n(y1−y′)=m(y2−y′)
전개합시다.
ny1−ny′=my2−my′
y'으로 정리해야하기 때문에 아래와 같이 이항합니다.
my′−ny′=my2−ny1
아래와 같이 묶어줍니다.
(m−n)y′=my2−ny1
양변을 (m-n)으로 나눠줍니다.
y′=my2−ny1m−n
m<n인 경우 선분 AB를 m:n 외분하는 점 (x′,y′) 은 아래와 같습니다.
(x′,y′)=(mx2−nx1m−n,my2−ny1m−n)
위 두 경우의 외분점이 같습니다. m과 n의 대소관계와 상관없이 선분 AB를 m:n 외분하는 점 (x′,y′) 은 아래와 같습니다.
(x′,y′)=(mx2−nx1m−n,my2−ny1m−n)
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