[5분 고등수학] 선분의 외분점

 

 

외분점은 '밖에서 나누는 점'이라는 뜻입니다. 외분점은 두 점을 연결하여 만든 선분을 일정한 비율로 나누는 점입니다. 선분 밖에 있는 점으로 말이죠. 

 

먼저 좌표평면 위에 점 두개를 찍어봅시다. 아래 그림과 같이 점 A와 점 B를 찍겠습니다.

 

 

선분 $AB$를 $m:n$ 으로 외분하는 점은 m과 n의 대소관계에 따라 아래와 같이 둘로 나뉩니다. 선분 $BA$를 $m:n$ 으로 나누는 외분점은 반대편에 생깁니다. 

 

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1) 선분 $AB$를 $m:n$ 으로 외분하는 점 ($m>n$)

 

$m>n$인 경우 선분 $AB$를 $m:n$ 외분하는 점은 아래 그림의 점 $P$ 입니다. 아래와 같이 두개의 삼각형을 그릴 수 있습니다. 

 

 

삼각형의 닮음을 이용하여 비례식을 세우면 아래와 같습니다. 

 

$(x'-x_{1}):(x'-x_{2})=m:n$

 

비례식을 풀어봅시다.

 

$n(x'-x_{1})=m(x'-x_{2})$

 

전개합시다. 

 

$nx'-nx_{1}=mx'-mx_{2}$

 

x'으로 정리해야하기 때문에 아래와 같이 이항합니다. 

 

$mx'-nx'=mx_{2}-nx_{1}$

 

아래와 같이 묶어줍니다. 

 

$(m-n)x'=mx_{2}-nx_{1}$

 

양변을 (m-n)으로 나눠줍니다. 

 

$x'=\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}$

 

이번에는 삼각형의 닮음을 이용하여 y축에서 비례식을 세워봅시다. 

 

$(y'-y_{1}):(y'-y_{2})=m:n$

 

비례식을 풀어봅시다.

 

$n(y'-y_{1})=m(y'-y_{2})$

 

전개합시다. 

 

$ny'-ny_{1}=my'-my_{2}$

 

y'으로 정리해야하기 때문에 아래와 같이 이항합니다. 

 

$my'-ny'=my_{2}-ny_{1}$

 

아래와 같이 묶어줍니다. 

 

$(m-n)y'=my_{2}-ny_{1}$

 

양변을 (m-n)으로 나눠줍니다. 

 

$y'=\frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n}$

 

$m>n$인 경우 선분 $AB$를 $m:n$ 외분하는 점 $(x',y')$ 은 아래와 같습니다. 

 

$(x',y')=(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n},\frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})$

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2) 선분 $AB$를 $m:n$ 으로 외분하는 점 ($m<n$)

 

$m<n$인 경우 선분 $AB$를 $m:n$ 외분하는 점은 아래 그림의 점 $P$ 입니다. 아래와 같이 두개의 삼각형을 그릴 수 있습니다. 

 

 

삼각형의 닮음을 이용하여 비례식을 세우면 아래와 같습니다.

 

$(x_{1}-x'):(x_{2}-x')=m:n$

 

비례식을 풀어봅시다.

 

$n(x_{1}-x')=m(x_{2}-x')$

 

전개합시다. 

 

$nx_{1}-nx'=mx_{2}-mx'$

 

x'으로 정리해야하기 때문에 아래와 같이 이항합니다. 

 

$mx'-nx'=mx_{2}-nx_{1}$

 

아래와 같이 묶어줍니다. 

 

$(m-n)x'=mx_{2}-nx_{1}$

 

양변을 (m-n)으로 나눠줍니다. 

 

$x'=\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}$

 

이번에는 삼각형의 닮음을 이용하여 y축에서 비례식을 세워봅시다. 

 

$(y_{1}-y'):(y_{2}-y')=m:n$

 

비례식을 풀어봅시다.

 

$n(y_{1}-y')=m(y_{2}-y')$

 

전개합시다. 

 

$ny_{1}-ny'=my_{2}-my'$

 

y'으로 정리해야하기 때문에 아래와 같이 이항합니다. 

 

$my'-ny'=my_{2}-ny_{1}$

 

아래와 같이 묶어줍니다. 

 

$(m-n)y'=my_{2}-ny_{1}$

 

양변을 (m-n)으로 나눠줍니다. 

 

$y'=\frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n}$

 

$m<n$인 경우 선분 $AB$를 $m:n$ 외분하는 점 $(x',y')$ 은 아래와 같습니다. 

 

$(x',y')=(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n},\frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})$

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위 두 경우의 외분점이 같습니다.  m과 n의 대소관계와 상관없이 선분 $AB$를 $m:n$ 외분하는 점 $(x',y')$ 은 아래와 같습니다. 

 

$(x',y')=(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n},\frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})$