[5분 고등수학] 삼차방정식의 근과 계수의 관계

 

 

삼차방정식의 일반형은 아래와 같습니다. 

 

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

 

삼차방정식의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 라고 놓겠습니다. 세 근을 이용하여 삼차방정식을 아래와 같이 ㅇ니수분해할 수 있습니다. 근을 대입할 때의 방정식의 값이 0이기 때문입니다. 

 

$a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$

 

위 식을 아래와 전개합시다. 

 

$a\left \{  x^3 -(\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma)x -\alpha \beta \gamma  \right \}=0$

 

아래와 같이 한번 더 전개합시다. 

 

$a x^3 -a(\alpha + \beta + \gamma)x^2 + a(\alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma)x -a \alpha \beta \gamma =0$

 

글 초반에 쓴 일반형과 위 수식의 계수를 비교해봅시다. 

 

 

1) 2차항 계수 비교

 

$-a(\alpha + \beta + \gamma)=b$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\alpha + \beta + \gamma=-\frac{b}{a}$

 

 

2) 1차항 계수 비교

 

$a(\alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma)=c$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma=\frac{c}{a}$

 

 

3) 상수항 비교

 

$-a\alpha \beta \gamma=d$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\alpha \beta \gamma=-\frac{d}{a}$

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정리해봅시다.

 

삼차방정식 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 라고 할 때, 근과 계수의 관계는 아래와 같습니다. 

 

$\alpha + \beta + \gamma=-\frac{b}{a}$

 

$\alpha \beta + \alpha \gamma + \beta \gamma=\frac{c}{a}$

 

$\alpha \beta \gamma=-\frac{d}{a}$