0.999...=1 의 나름 엄밀한 증명 (2편)

 

 

0.999...=1 을 증명하고 있습니다. 이번 글은 2편입니다. 

1) 등식 유도부터 다시, 증명의 방향성

2) 유리수의 조밀함
3) 유리수의 빈틈 
4) 실수의 완비성 
5) 엡실론 델타법

 

조밀함은 영어 dense를 번역한 것입니다. 수학에서 조밀하다는 것은 우리가 흔히 사용하는 조밀하다와 다릅니다.

여기 고양이 사진이 있습니다. 

 

 

누군가 "고양이 털은 조밀해?" 라고 물어본다면 아마 그렇다고 대답할 것입니다. 일상적으로는 틀린 말이 아닙니다. 이정도면 조밀한거죠. 

하지만 수학에서의 조밀함을 적용하면 이야기가 달라집니다. 고양이 털이 수학적으로 조밀하려면, 임의의 두 털 A와 B를 잡았을 때 두 털 사이에 또 다른 털이 C가 있어야 합니다. 그 또다른 털 C와 A 사이에도 또다른 털이 있어야 하고 이런 상태가 무한히 반복되야 합니다. 쉽게 말하면 두 털 사이에 무수히 많은 털이 존재해야 한다는 것입니다.

(그렇다면 이 고양이는 고양라고 부를 수 있을까요? 그냥 털 그 자체라고 불러야하지 않을까요. ) 

아무튼 수학에서 조밀함의 정의는 위와 같습니다. 이제 유리수의 조밀성을 증명해봅시다. 

 

서로 다른 임의의 두 유리수 a,b 를 택했을 때, a와 b사이에 항상 유리수 $\frac{a+b}{2}$ 가 존재합니다. $\frac{a+b}{2}$가 유리수라는 것은 유리수가 덧셈과 곱셈에 대해서 닫혀 있기 때문에 성립하구요. 유리수가 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀있다는 것은 쉽게 증명이 가능합니다. 두 유리수를 a/b, m/n 으로 놓고, 더하고 곱해보세요. 정수/정수 형태가 될겁니다. 

 

요약 하면 이렇습니다. 임의의 두 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 존재한다. 

 

오늘 설명드린 내용으로 조밀성이 무엇인지 감을 잡으실 수 있을 건데요. 이 내용은 중학교 수준에서의 조밀성입니다. 참고로 대학에서는 실수 위에서의 조밀성을 다룹니다. 유리수가 실수 위에서 조밀하다는 것인데요. 임의의 두 실수를 택해도 그 사이에 반드시 유리수가 존재한다는 내용입니다.

 

이 글은 조밀성의 엄밀한 정의를 따지는 글이 아닙니다. 위에서 말한 유리수가 조밀하다는 것은 두 유리수 사이에 무수히 많은 유리수가 있다는 의미로 말한 것입니다.