무리수+유리수는 무엇일까?

 

 

한 중학생분께서 댓글로 질문을 주셨습니다.

"무리수 더하기 유리수는 무리수인가요?"

라는 질문이었습니다. 중학생이 수학에 이렇게 진지할 수 있다는데 놀랐고 답변을 영상을 찍기로 했습니다. 

중학생이 이해할 수 있는 수준으로 설명하겠습니다. 

먼저 무리수와 유리수의 합이 실수인지 부터 확인해봅시다. 직관적으로 이해가 가능합니다. 

실수는 수직선을 빼곡히 매우고 있는 모든 점들이라고 말할 수도 있습니다. 따라서 어떤 유리수는 원점에서 이 유리수의 크기만큼 이동한 위치에 있는 점입니다. 이 유리수에 다른 무리수를 더한다는 것은, 이 점에서 다른 무리수의 크기 만큼 이동한다는 것을 의미합니다. 이동 후에도 여전히 수직선 위의 점이므로 결과는 '실수'라고 할 수 있습니다. 

무리수+유리수=실수

실수는 무리수와 유리수로 나뉘므로, 아래와 무리수와 유리수의 합은 유리수 또는 무리수입니다.

무리수+유리수 = 무리수 or 유리수

이제 증명을 시작합시다. 무리수와 유리수의 합을 유리수라고 가정합시다.

무리수+유리수=유리수

유리수는 정수의 비율로 나타낼 수 있습니다. 따라서 아래와 같이 놓을 수 있습니다. 분모는 0이 될 수 없으므로, a와 m은 0이 아니라고 가정합시다.

무리수 + a/b = m/n 

a/b를 이항합시다. 

무리수  = m/n - a/b

통분합시다.

무리수 = (am-nb)/nb

우변은 정수/정수 형태입니다. 따라서 유리수이고, 무리수=유리수 라는 결론에 도달합니다. 

 

모순이죠? 따라서 무리수+유리수=유리수 라는 가정이 틀린 것입니다. 

방금의 증명으로 무리수+유리수는 유리수가 아니라는 것을 보였습니다.

무리수+유리수는 실수인데, 유리수는 아니므로, 무리수가 될 수 밖에 없습니다. 

따라서 무리수+유리수=무리수 입니다. 


그렇다면 무리수*유리수가 무엇일까요? 위와 동일한 방법으로 증명할 수 있습니다. 증명의 즐거움은 여러분들께 양보하겠습니다.