[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (6)이산확률변수의 기댓값(평균) + 직관적 이해

[확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(6)이산확률변수의 기댓값(평균)]

이산확률변수의 기댓값(평균) + 직관적 이해

이산확률변수 X와, 각 변수에 해당하는 확률값을 표로 나타내면 아래와 같습니다. 이산확률변수 X의 개수는 n개라고 가정하겠습니다. 

X의 평균은 아래와 같이 구합니다. 

평균은 기댓값이라고도 부르는데, 평균은 X를 확률변수로 갖는 사건이 발생했을 때 기대할 수 있는 값이기 때문입니다. 

각 변수에 확률을 곱해서 더한 값이 기댓값이라는 것을 직관적으로 이해하기 위해 두가지 시도를 해봅시다. 

1) 동전 예시

동전을 던져서 앞면이 나오면 1000원, 뒷면이 나오면 10원을 받기로 했습니다. 얼마를 기대할 수 있을까요? 앞면이 나올 확률이 50%니까 앞면에 500원, 뒷면이 나올 확률이 50%니까 뒷면에 5원을 기대할 수 있습니다. 따라서 총 550원을 기대할 수 있는 것입니다. 

2) 변량과 도수에서 평균구하기

10과목의 시험을 봤는데 80점이 3과목, 90점이 2과목, 70점이 5과목이었습니다. 표로 나타내면 아래와 같습니다. 

평균을 구하면 아래와 같습니다. 

분자를 분리해서 쓰면 아래와 같습니다. 

파란 부분을 시험 결과 중 한 과목을 뽑았을 때, 90점이 나올 확률/80점이 나올 확률/70점이 나올 확률로 이해할 수도 있습니다. 따라서 위 평균은 변량과, 변량이 발생할 확률의 곱의 총 합으로 계산됐다는 것을 알 수 있습니다.