[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (7) 이산확률변수 X의 분산과 표준편차

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이산확률변수 X의 분산과 표준편차

▣ X의 분산

이산확률변수 X와, 각 변수에 해당하는 확률값을 표로 나타내면 아래와 같습니다. 이산확률변수 X의 개수는 n개라고 가정하겠습니다. 

X의 분산을 구해봅시다. 분산은 영어로 variance 이기 때문에, X의 분산은 첫글자를 따서 아래와 같이 나타냅니다. 

분산은 편차의 제곱의 평균(기댓값)입니다. 따라서 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

지난시간에 배운 기댓값 계산법을 이용하면 아래와 같이 구합니다. 

분산은 변량의 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 빼는 방법으로도 구할 수 있습니다. 

분산의 정의를 이용하여 유도해보겠습니다. 

위 전개합시다. 

같은 차수의 항끼리 모아줍시다. 

빨간항은  X의 제곱의 평균, 파란항은 평균, 초록항은 1입니다. 따라서 아래와 같이 계산됩니다. 

한번더 계산합시다. 

따라서 아래와 같은 결론을 얻습니다. 

▣ X의 표준편차

표준편차는 분산의 양의 제곱근입니다. 표준편차는 영어로 standard deviation입니다. 첫글자는 s인데, 영어의 s대신 그리스어의 s에 해당하는 σ(sigma)를 기호로 사용합니다. 

s는 표본추출을 배우고 나면, 표본 표준편차의 기호로 사용됩니다.