[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (13) 큰 수의 법칙(대수의 법칙)

[확률과통계]-[3.통계]-[①확률분포]-[(13) 큰 수의 법칙(대수의 법칙)]

큰 수의 법칙(대수의 법칙)

큰수의 법칙은 시행횟수를 무한히 늘려가면, 통계적확률이 수학적확률에 가까워져간다는 법칙입니다. 큰수의 법칙은 대수의 법칙이라고도 부르는데, '큰'이 한자어 '대'로 바뀐 것이므로 같은 말입니다. 

큰수의 법칙의 증명은 고등학교 과정을 벗어나므로 '설명'만 하겠습니다. 

큰수의 법칙은 아래와 같습니다. 

위 식에 등장하는 문자들을 먼저 설명하겠습니다. n은 어떤 사건 A의 시행횟수이구요. X는 n회의 독립시행에서 사건 A가 발생한 횟수입니다. p는 사건 A가 발생할 수학적 확률입니다. 위 식에서 X/n 은 사건 A의 통계적확률입니다. p는 수학적확률입니다. h는 임의의 양수입니다. 

예를 들어서 사건 A가 동전의 앞면이 나올 확률이라고 해봅시다. n은 동전을 던진 횟수이고, X는 n번의 시행에서 실제로 앞면이 나온 횟수입니다. 따라서 X/n이 통계적 확률이 되는 것이죠. p는 0.5입니다. 

수식을 다시 봅시다.

 

이번에는 수학적 의미를 이해해봅시다. 수학적 확률에서 통계적확률을 빼고 절댓값을 씌워놓았습니다. 이는 수학적 확률과 통계적 확률의 차이입니다. P( ) 의 괄호 안에 들어있는 수식을 말로 표현하면 아래와 같습니다. 

"수학적 확률과 통계적 확률의 차이가 임의의 양수 h보다 작을 확률"

전체 수식을 말로 표현하면 아래와 같습니다. 

"수학적 확률과 통계적 확률의 차이가 임의의 양수 h보다 작을 확률은 n이 커짐에 따라 1에 가까워진다."

임의의 양수 h를 아주 작은 양수보다 더 작은 양수로 놓는다면, 아래와 같이 말할 수 있습니다. 

"시행 횟수 n이 커짐에 따라, 통계적 확률이 수학적 확률에 가까워져간다."

증명