[수학 상] (1-13) 나머지정리와 인수정리

[모듈식 수학 (상)] 1. 다항식 (13) 나머지정리와 인수정리

나머지 정리는 다항식의 나눗셈을 할 때 나머지를 쉽게 구하는 방법입니다. 다항식 $f(x)$를 $(x-a)$로 나눌 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R$ 이라고 한다면 아래와 같은 항등식으로 표현할 수 있습니다.

$f(x)=(x-a)Q(x)+R$

나머지는 $R(x)$가 아니라 $R$ 입니다. 나머지는 상수라는 말입니다. 일차식 $(x-a)$으로 나눴기 때문에 나머지는 0차식인 상수가 됩니다. 만약 나머지가 1차식으로 나왔다면 $(x-a)$로 한번 더 나눌 수 있고 결국 일차식이 됩니다.

위 항등식의 $x$자리에 $a$를 넣어봅시다. 우변의 첫 항은 0이 되어 사라지고 아래 식이 남게됩니다.

$f(a)=R$

나머지를 구했습니다. 이번에는 $f(x)$를 $ax+b$로 나눠봅시다. 몫을 $Q(x)$, 나머지를 R이라고 한다면 아래와 같이 표현됩니다.

$f(x)=(ax+b)Q(x)+R$

x에 어떤 수를 넣어야 할까요? $-\frac{b}{a}$를 넣으면 됩니다. 위 항등식에 대입하면 아래와 같습니다.

$f(-\frac{b}{a}=R$

이 내용이 '나머지 정리'입니다. 요약하면 아래와 같습니다.

$f(x)$를 $(x-a)$로 나눌 때, 나머지는 $f(x)$ 이다.

$f(x)$를 $(ax+b)$로 나눌 때, 나머지는 $f(x)$ 이다.

인수정리는 나머지정리의 특수한 버전입니다. 나머지정리에서 나머지가 0인 경우, 즉 나누어 떨어지는 경우를 인수정리라고 합니다. 다항식 $f(x)$가 $(x-a)$로 나누어 떨어진다면 아래 등식이 성립합니다.

$f(x)=(x-a)Q(x)$

양변의 $x$자리에 $a$를 대입하면 아래와 같습니다.

$f(a)=0$

이번에는 $f(x)$가 $ax+b$로 나누어 떨어진다고 합시다. 몫을 $Q(x)$, 나머지를 R이라고 한다면 아래와 같이 표현됩니다.

$f(x)=(ax+b)Q(x)$

양변의 $x$자리에 $-\frac{b}{a}$를 대입하면 아래와 같습니다.

$f(-\frac{b}{a}=0$

위 내용이 인수정리입니다. 요약하면 아래와 같습니다.

$f(x)$가 $(x-a)$로 나누어 떨어진다면, $f(a)=0$ 이다.

$f(x)$가 $(ax+b)$로 나누어 떨어진다면, $f(-\frac{b}{a})=0$ 이다.