반응형 수학이야기19 y=x^x 를 미분해봅시다. 오늘은 $y=x^x$ 라는 함수를 x로 미분해봅시다. 먼저 양변에 자연로그를 취합니다. $\ln y=\ln x^x$ 로그의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. 이 식을 1번 식이라고 놓겠습니다. $\ln y=x\ln x$ (1) 양변을 x로 미분합시다. $\frac{d(\ln y)}{dx}=\ln x+1$ 체인룰을 사용하여 아래와 같이 변형합니다. $\frac{d(\ln y)}{dy}\frac{dy}{dx}=\ln x+1$ 좌변을 미분합니다. $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln x+1$ 아래와 같이 y를 우변으로 보냅니다. $\frac{dy}{dx}=y\left (\ln x+1 \right )$ $y=x^x$ 이므로 아래와 같이 대입합니다. $\frac{dy}{dx}=x^x\lef.. 2022. 11. 19. 등차수열을 '산술수열', 등비수열을 '기하수열'이라고 부르는 이유 세 수 a,b,c 가 등차수열을 이루고 있다고 합시다. 등차수열을 차이가 일정한 수열이므로 아래 등식이 성립합니다. $b-a=c-b$ 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $b=\frac{a+c}{2}$ b는 a와 c의 산술평균입니다. 등차수열에서 나란한 세 항 중에서 가운데 항은 양쪽 항의 산술평균입니다. 이러한 이유로 등차수열을 산술수열이라고도 부릅니다. 이번에는 세 수 a,b,c가 등비수열을 이루고 있다고 합시다. 등비수열은 '비(ratio)'가 일정한 수열이므로 아래 등식이 성립합니다. $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$ 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. $b^{2}=ac$ 세 수가 양수라고 가정하고 양변에 루트를 씌웁시다. $b=\sqrt{ac}$ b는 a와 c의 기하평.. 2022. 11. 1. e를 찾아라 (로그의 미분) 자연상수 e가 발견되기 전 상황을 가정해봅시다. 로그함수를 미분하는 과정에서 자연상수가 자연스럽게 발견된다는 것을 보여드리겠습니다. 아래와 같이 밑이 a인 로그함수가 있습니다. $y=\log_{a}x$ 미분을 한번 해봅시다. 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$ 위 로그함수에 적용하면 아래와 같습니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}x}{h}$ 우변의 분자를 아래와 같이 변형합니다. $\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\log_{a}(\frac{x+h}{x})}{h.. 2022. 10. 22. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 2편 지난시간에 미분해서 자기자신이 나오는 함수가 $Ae^x$ 임을 보인 과정을 간단히 가져왔습니다. $y=f(x)$ $f'(x)=f(x)$ $y'=y$ $\frac{dy}{dx}=y$ y로 양변 나눔 $\frac{1}{y}dy=dx$ 적분취함 $\int \frac{1}{y}dy=\int dx$ 적분 계산 $\ln\left | y \right |=x+C$ 변형 $\left | y \right |=e^{x+C}$ 절댓값 풀어줌 $y=\pm e^{x+C}$ 변형 $y=\pm e^{C}e^{x}$ 치환 $y=Ae^{x}$ 위 수식에서 y로 양변을 나눠주는데요. y로 양변을 나누기 위해서는 한가지 조건이 필요한데, y가 0이 아니라는 조건이 필요합니다. 따라서 위 수식은 y가 0이 아니라는 전제로 유도된 수식입니다... 2022. 10. 15. 수학선생님들은 어떤 시험을 본걸까 (임용고시 과목) 임용고시는 1차시험과 2차시험이 있습니다. 1차시험에서는 교육학과 전공과목시험을 봅니다. 2차시험에서는 면접과 수업실연을 합니다. 수학선생님이 통과하신 임용고시의 수학전공과목들은 아래와 같습니다. 수학교육론 해석학 (수열, 미적분) 복소해석학 (복소평면에서의 해석학) 현대대수학 (군,환,체) 위상수학 (손잡이 달린 컵은 도넛과 같다) 선형대수학 (일차연립방정식과 그 응용) 정수론 (정수의 성질 연구, 약수 배수 등) 미분기하학 (곡선 곡면등을 미적분을 이용하여 연구) 확률과통계 이산수학 (조합론, 그래프이론. 컴공) 2022. 10. 13. 1/x 를 적분하면 왜 ln|x| 일까 (절댓값이 왜 생길까) $\frac{1}{x}$ 를 적분하면 $\ln\left | x \right |$ 가 됩니다. 이때 왜 절댓값이 생기는 걸가요? 오늘 그 이유를 알아봅시다. $y=\ln x$ 의 미분에서 출발합시다. x 는 로그의 진수이므로 양수입니다. $y=\ln x \quad (x>0)$ 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. $y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$ 위 함수에 적용하면 아래와 같습니다. $y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{x+h-x}$ 아래와 같이 계산할 수 있습니다. $y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(\frac{x+h}{x})}{h}$ 아래와 같이 변형합시다. $y'=\l.. 2022. 10. 10. 나르시시스트수 39자리 검증하기 39자리 나르시시스트 수는 아래와 같습니다. 115132219018763992565095597973971522401 먼저 엑셀로 해보려고 했습니만 실패했습니다. 엑셀에서는 최대 15개의 유효숫자만 입력되기 때문입니다. 이렇게 입력을 해도, 최대 유효숫자를 제외한 나머지는 0으로 인식합니다. 이번에는 R을 이용해봤습니다. R도 17개까지밖에 유효숫자 입력이 안되는데, 큰 정수를 다루는 패키지가 있었습니다. gmp라는 패키지를 이용하였습니다. > nar39=as.bigz("115132219018763992565095597973971522401") > nar39 Big Integer ('bigz') : [1] 115132219018763992565095597973971522401 입력이 잘 됩니다. 각각의 숫.. 2021. 7. 12. 인간의 심장은 평생 몇번이나 뛸까 그냥 심심해서 계산해봤습니다. 심박수는 1분동안 심장이 뛰는 횟수입니다. 평균심박수를 $x$ 라고 놓겠습니다. 한시간 동안 심장이 뛰는 횟수는 아래와 같습니다. 한시간 동안 뛰는 심박수 = $60x$ 하루 동안 뛰는 심박수는 아래와 같습니다. 하루 동안 뛰는 심박 수 = $60x \times 24=1440x$ 일년 동안 뛰는 심박수는 아래와 같습니다. 일년 동안 뛰는 심박 수 = $60x \times 24 \times 365=525600x$ 어떤 나라 사람의 기대수명을 Y라고 놓겠습니다. 이 나라 사람의 심장이 평생동안 뛰는 횟수는 아래와 같습니다. 기대수명이 $y$인 나라 사람의 심장이 평생 동안 뛰는 횟수 = $ 525600xy$ 인간의 평균 심장박동수는 60-100 사이라고 합니다. 평생 몇번 뛰는.. 2021. 3. 15. 아르키메데스 방법으로 파이 구하기 (5) 내접 다각형 지난 글에서는 외접다각형을 이용하여 파이의 범위를 구했습니다. 아르키메데스는 정6각형에서 정96각형까지 늘려가며 범위를 구했고, 정96각형에서 구한 범위는 아래와 같습니다. $\pi 2021. 3. 8. 수능수학 가형,나형 겹치는 문제는 몇개? 수능수학은 가형과 나형으로 나뉩니다. 이과가 가형, 문과가 나형입니다 . 두 유형에서 겹치는 문제가 있는지 알아보았습니다. 겹치는 문제는 아래와 같습니다. 2018 수능을 기준으로 하였습니다. 괄호 안은 출제단원입니다. 가형 4번 - 나형 10번 (확률의 독립) 가형 6번 - 나형 12번 (이항정리) 가형 10번 - 나형 15번 (표준정규분포) 가형 22번 - 나형 22번 (조합) 2021. 1. 2. 수능수학 2,3,4점 몇 문제씩 있나? 수능 수학은 2,3,4점 문제로 구성되어 있습니다. 각 몇문제씩 있는지 알아보았습니다. 3문제 = 6점 3점 14문제 = 42점 4점 13문제 = 52점 2021. 1. 2. 수능수학 짝수형 홀수형 차이 오늘은 수능 수학의 짝수형과 홀수형이 어떤 차이가 있는지를 알아보겠습니다. 2018년 수능문제를 기준으로 했습니다. 결론만 말씀드리면, 7,12,14,18번 네문제의 보기 순서가 서로 반대였습니다. 보기 순서를 반대로 한 이유는 컨닝 방지겠죠? 자세한 내용은 영상을 참고하세요. 2021. 1. 2. 한 문제당 10억! (밀레니엄 문제) 풀면 한 문제당 10억을 주는 밀레니엄문제를 소개하려고합니다. 구글에 밀레니엄문제를 검색하고 위키백과를 들어가면 밀레니엄문제에 대한 설명이 있습니다. 하버드 대학교 수학과 출신들이 만든 '클레이 수학 연구소'에서 21세기에 가장 크게 공헌할 수 있는데 아직 풀리지는 않은 7가지 문제를 선정했습니다. 그리고 이 문제들에 상금을 걸었습니다. 상금은 백만달러였습니다. 풀면 백만장자가 될 수 있는 상금이죠. 2000년에 건 상금인데, 2020년인 오늘 10억은 서울에 집 한채 겨우 사는 돈이네요. 한 사람이 여러 문제를 풀어도 됩니다. 7문제를 다 풀면 7백만달러를 받게 됩니다. 7가지 문제는 아래와 같습니다. 1. P-NP 문제 2. 호지 추측 3. 푸앵카레 추측 4. 리만 가설 5. 양-밀스 질량 간극 가설.. 2021. 1. 2. 확률 용어 '사건' 영문번역이 이상해요(아시는분 답변좀) 확률에 대한 용어를 정리하다가 혼란이 왔습니다. 확률에 용어 중에 사건에 대한 용어가 많이 있습니다. 공사건, 합사건, 배반사건, 합사건 등이 있습니다. 네이버에 '곱사건'이라고 검색을 하면 product event라고 뜹니다. 두 사건의 교집합을 곱사건이라고 한다고 되어있습니다. 구글에 product event라고 검색하면 나오지 않습니다. product event probability라고 검색해도 안나옵니다. 곱사건이라는 용어가 쓰이질 않습니다. 다른 용어로 검색해봤습니다. 곱사건은 intersection of event 라고 되어 있습니다. 합사건은 union event라고 나오는데요. 합사건을 네이버에 검색하면 sum event 라고 나옵니다. sum event를 다시 구글에 검색하면 안나옵니다... 2021. 1. 2. 하트모양 함수를 그려보았습니다 (+그래프 그려주는 사이트 소개) 오늘은 함수 를 입력하면 그래프를 그려주는 사이트를 소개해 드리려고 합니다. 구글 검색창에 울프 람 알파 라고 검색합니다. 처음 나오는 이 사이트를 들어갑니다. 이렇게 들어가면 검색창 같은게 뜨거든요. 여기다가 원하는 모양의 함수 를 입력하면 그 함수의 그래프를 출력해 줍니다. x=y를 입력해봅시다. 콤마를 이용하면 두개의 그래프를 동시에 그려줍니다. 매개변수 형태로도 입력이 가능합니다. y=sin(2t), x=cos(t)를 입력해봅시다. 그리고 좀 특이한 함수를 한번 그려보겠습니다. 하트펑션이라고 하는데요. 하트모양을 그려줍니다. (x^2+y^2-1)^3-x^2*y^3=0 라고 입력합시다. 2021. 1. 2. 1=2증명 미분을 이용하여 1=2 임을 증명해보겠습니다. 아래와 같은 규칙으로 수를 적어봅시다. $2^{2}=4=2+2$ $3^{2}=9=3+3+3$ $4^{2}=16=4+4+4+4$ 이 원리로 x의 제곱을 써보면 아래와 같습니다. $x^{2}=x+x+...+x\ \ \ \ \left(x개\right)$ 양변을 미분해봅시다. $2x=1+1+...+1\ \ \ \ \left(x개\right)$ 우변은 x입니다. $2x=x$ 양변을 x로 약분합시다. $2=1$ 2021. 1. 2. 5로 끝나는 수의 제곱 3초만에 구하는 법 5로 끝나는 수의 제곱을 3초만에 구하는 방법을 알려드리겠습니다. 예를 들어 55의 제곱을 구하면 3025인데요. 30과 25로 나눠보면 30은 5와 6의 곱입니다. 55에서 십의자리수와 그 수에 1을 더한 수를 곱한 것입니다. 뒤에 25는 5의 제곱이구요. 25에 적용해봅시다. 십의자리 2와 2에 1을 더한수인 3을 곱하면 6입니다. 따라서 25의 제곱은 625입니다. 65에 적용해볼까요? 6곱하기7은 42니까. 65의 제곱은 4225입니다. 원리를 분석해봅시다. 5로 끝나는 두자리수를 A5 라고 합시다. 10*A+5입니다. 이 수를 제곱해봅시다. $\left(10A+5\right)^{2}=100A^{2}+100A+25$ 아래와 같이 묶어봅시다. $\left(10A+5\right)^{2}=100A\le.. 2021. 1. 2. 0=1 증명 (오류를 찾아보세요) 0이 1과 같다는 것을 증명해보겠습니다. 당연히 말이 안되는 이야기구요. 오류를 찾아보시면 됩니다. $-12=-12$ 라는 등식에서 출발하겠습니다. 아래와 같이 변형합시다. $9-21=-12$ 우변은 아래와 같이 변형합시다. $9-21=16-28$ 좌변의 9를 3의 제곱으로 21을 3*7 로 변형합시다. $3^{2}-3\cdot 7=16-28$ 우변의 16을 4의 제곱으로, 28을 4*7로 변형합시다. $3^{2}-3\cdot 7=4^{2}-4\cdot 7$ 앙변에 4/49를 더합니다. $3^{2}-3\cdot 7+\frac{49}{4}=4^{2}-4\cdot 7+\frac{49}{4}$ 아래와 같이 변형합시다. $3^{2}-7\cdot 3+ \left(\frac{7}{2} \right)^{2}=4^{2.. 2021. 1. 2. 0!=1 인 이유, a^0=1 인 이유 0!은 왜 1일까요? 고등학교에서 팩토리얼을 배울 때, 우리는 0!이 1이라고 '정의'한다고 배웠습니다. 물론 정의한게 맞지만, 납득할 만한 설명이 있어서 가져와봤습니다. 1!은 1 2!은 2 3!은 6 4!은 24 5!은 120 입니다. 반대로 생각해봅시다. 5!이 4!이 될 때, 5로 나눠줍니다. 4!이 3!이 될 때, 4로 나눠줍니다. 3!이 2!이 될 때, 3으로 나눠줍니다. 2!이 1!이 될 때, 2로 나눠줍니다. 1!이 0!이 될 때는 무엇으로 나누면 될까요? 1로 나누면 됩니다. 1!을 1로 나누면 1입니다. 따라서 0!은 0입니다. 그렇다면 a의 0제곱은 왜 1일까요. 아래 영상을 참고해주세요^^ 2021. 1. 2. 이전 1 다음 반응형
