고등수학 수학2 전체내용 한눈에 보기 (2015개정, 2018시행)

수학2 한눈에 보기 (2015개정, 2018시행)

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수학2는 미분과 적분의 기본 개념을 배우는 과목입니다. '미적분'이라는 과목에서는 심화된 내용을 배우구요. 

수학2의 대단원을 봅시다. 

1. 함수의 극한과 연속

2. 미분

3. 적분

미적분을 배우기 전에 '함수의 극한과 연속'을 먼저 배웁니다. 다 이유가 있겠죠? 미분이 가능하려면 함수가 연속이어야 하고, 미분을 정의하려면 함수의 극한이 필요합니다. 자세한 내용은 나중에 배우도록 해요.

그렇다면 미분은 뭘까요? 미분은 함수의 접선의 기울기를 구하는 것입니다. 별거 아니죠? 예를 들어 시간에 따른 속도의 함수를 미분하면 가속도 함수가 되는 겁니다. 그리고 미분은 함수의 개형을 구하는데도 사용됩니다. 미분한 함수를 통해서 원래 함수의 모양을 알 수 있습니다. 

미분은 공학에서도 엄청나게 쓰여요. 우리가 살고 있는 세계의 많은 현상들이 '미분방정식'으로 표현되기 때문입니다. 고등학교 과정에서는 방정식도 배우고, 미분도 배우지만 미분방정식을 다루지는 않아요. 

재밌는 얘기를 하나 해드릴게요. 나비어-스톡스 방정식이라는 미분방정식이 있는데, 상금이 걸려 있습니다. 유체의 운동을 표현한 방정식인데요. 그 해를 구하면 상금 10억을 받을 수 있어요. 

마지막으로 적분 이야기를 해봅시다. 아마 적분을 제대로 이해하고 졸업하는 학생들은 많지 않을거에요. 적분 문제를 풀 줄 아는 것과 적분을 완벽히 이해한 것은 다릅니다. 앞으로 공부해나가며 '이해했다고 착각'하는 함정에 빠지지 않도록 몇가지 포인트를 말씀드릴게요. 

적분은 넓이를 구하는 것이라고 하면 절반만 맞습니다. 적분은 두가지 종류가 있어요. '부정적분'과 '정적분'입니다. 

먼저 부정적분은 미분의 반대과정입니다. '역미분'이라고 생각하시면 돼요. 

그리고 부정적분과 전혀 다른 트랙에 놓인 '정적분'이 있습니다. 정적분은 단지 '함수의 어떤 구간의 부호넓이'를 나타내는 기호에요. (부호넓이가 뭔지는 나중에 설명하죠. 일단은 넓이라고 생각합시다.)

그런데 아주 놀라운 일이 벌어졌습니다. 부정적분과 정적분 사이의 관계를 발견한 것이죠. 

공부하시다가 이 대목이 나왔을 때, 무릎을 탁 치며 '와 대박, 미쳤다 진짜' 라는 반응이 나오면 적분을 제대로 이해하신게 맞습니다(참고로 저는 이 대목에서 신의 존재를 믿게 되었어요. 이세상은 분명히 누군가가 의도를 갖고 설계해 놓은 거라는 확신을 갖게 됐죠). 적분 공부를 마치신 분들 중에 놀랐던 기억이 없는 분들은 제대로 이해한게 맞나 의심해볼 필요가 있습니다. 

설명을 끝내고 보니, 수학2를 '미적분 더 비기닝' 이라고 이름 붙이고 싶네요. 오늘은 이만.