0^0 을 정의할 수 없다는 잘못된 증명 2편

0^0 을 정의할 수 없다는 것을 증명하는 잘못된 방법이 참 많이 돌아다니고 있는 것 같습니다. 제가 찾은 것만 세가지가 됩니다. 오늘은 두번째 잘못된 증명입니다. 1편의 증명과 유사하지만 더 그럴듯해 보이는 증명입니다. 

 

a가 0 보다 큰 실수 일 때, 아래와 같은 지수법칙이 성립합니다. x와 y는 자연수라고 가정하겠습니다. 

 

$a^{x-y}=a^x \div a^y$

 

x와 y가 같다면 아래 지수법칙도 성립합니다. 

 

$a^{x-x}=a^x \div a^x$

 

좌변을 계산하면 아래와 같습니다. 

 

$a^{0}=a^x \div a^x$

 

이때 a가 0일 수 있느냐는 문제인데요. a에 0을 넣게되면 모순이 발생합니다. 따라서 a는 0이 될 수 없구요. $0^0$은 정의될 수 없다는 것이 이 증명의 내용입니다. 

 

하지만 이 증명은 틀렸습니다. 이 논리대로라면 0도 정의할 수 없습니다. 아래 지수법칙을 다시 봅시다. 

 

$a^{x-y}=a^x \div a^y$

 

x가 y+1이면 아래 지수법칙이 성립합니다. 

 

$a^{1}=a^{y+1} \div a^y$

 

a에 0을 넣게되면 모순이 발생합니다. $0^{1}$은 0입니다. 위 논리대로라면 0도 정의될 수 없습니다. 

 

무엇이 잘못된걸까요? 이 증명은 위와 같은 지수법칙에서 밑을 0으로 확장할 수 없다는 증명입니다. 어떤 지수법칙이 적용될 수 없는 수라고 해서 정의할 수 없는 것은 아닙니다. a가 0인 경우에 위 지수법칙을 사용할지 못할 뿐입니다. 

 

 

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