[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (32) 지수를 유리수로 확장한다는 것이 무엇인가

지수를 유리수로 확장한다는 것이 무엇인가

지수법칙은 자연수에서 먼저 정의되었습니다. 아래와 같이 다섯가지 지수법칙을 공부했었습니다. 

 

 

엄밀한 유도까지는 아니어도 위 다섯가지 지수법칙이 자연수 영역에서 성립한다는 것을 보였습니다.

 

이어서 지수를 정수 영역으로 확장했습니다. 먼저 아래 두 규칙을 정의했습니다. 

 

$a^0=1$

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

 

이 두 규칙을 이용하여 지수법칙을 0과 음수영역에서 사용해봤더니 지수법칙이 성립했습니다. 지수가 정수 영역으로 확장된 것입니다. 

 

 

이어서 지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 먼저 아래 두 규칙을 정의했습니다.

 

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

 

이 두 규칙을 이용하여 지수법칙을 유리수 영역으로 확장했습니다. 정수 지수법칙에서 지수를 유리수로 바꾸고 위 두 규칙을 이용하여 등식이 성립함을 보였습니다.