[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (31) 지수법칙 유리수버전 ⑤ 거듭제곱3

 

지수법칙 유리수버전 ⑤ 거듭제곱3

지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 지수가 분수형태인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. 

 

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

 

이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 세번째 지수법칙인 거듭제곱3에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 정수인 경우 성립하는 거듭제곱3 법칙은 아래와 같습니다. 

 

$\left ( \frac{a}{b} \right )^p=\frac{a^p}{b^p}$   (1)

 

위 식 좌변의 p를 유리수라고 놓고 좌변을 변형하여 우변을 유도할 것입니다. 성공한다면 위 법칙은 유리수 영역에서도 성립하는 것입니다.

 

p가 아래와 같은 유리수라고 합시다. 

 

$p=\frac{d}{c}$ 

 

위 식을 1번 식의 좌변에 대입하면 1번 식의 좌변은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$\left ( \frac{a}{b} \right )^p=\left ( \frac{a}{b} \right )^{\frac{d}{c}}$

 

지수가 분수인 경우에 정의한 수식을 적용하여 우변을 변형하면 아래와 같습니다. 

 

$\left ( \frac{a}{b} \right )^p=\sqrt[c]{\left ( \frac{a}{b} \right )^d}$

 

우변의 루트 안을 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\left ( \frac{a}{b} \right )^p=\sqrt[c]{\frac{a^d}{b^d}}$

 

거듭제곱근의 성질 3번을 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\left ( \frac{a}{b} \right )^p=\frac{\sqrt[c]{a^d}}{\sqrt[c]{b^d}}$

 

지수가 분수인 경우에 정의한 수식을 적용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\left ( \frac{a}{b} \right )^p=\frac{a^{\frac{d}{c}}}{b^{\frac{d}{c}}}$

 

우변에서 치환했던 값을 원래대로 되돌려 놓겠습니다. 

 

$\left ( \frac{a}{b} \right )^p=\frac{a^p}{b^p}$

 

지수가 유리수일 때, 다섯번째 지수법칙이 성립한다는 것을 보였습니다.