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수학1/1. 지수함수와 로그함수

[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (29) 지수법칙 유리수버전 ③ 거듭제곱1

by bigpicture 2022. 8. 1.
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지수법칙 유리수버전 ③ 거듭제곱1

지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 지수가 분수형태인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. 

 

amn=nam

a1n=na

 

이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 세번째 지수법칙인 거듭제곱1에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 정수인 경우 성립하는 거듭제곱1 법칙은 아래와 같습니다. 

 

(ap)q=apq   (1)

 

위 식 좌변의 p와 q를 유리수라고 놓고 좌변을 변형하여 우변을 유도할 것입니다. 성공한다면 위 법칙은 유리수 영역에서도 성립하는 것입니다.

 

p와 q가 아래와 같은 유리수라고 합시다. 

 

p=dc 

p=fe

 

위 식을 1번 식의 좌변에 대입하면 1번 식의 좌변은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

(ap)q=(adc)fe

 

지수가 분수인 경우에 정의한 수식을 적용하여 우변의 괄호 안을 먼저 변형하면 아래와 같습니다. 

 

(ap)q=(cad)fe

 

아래와 같이 한번 더 변형합시다. 

 

(ap)q=e(cad)f

 

거듭제곱근의 성질 6번째를 이용하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

(ap)q=ec(cad)fc

 

거듭제곱근의 성질 4번째를 이용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

(ap)q=ec(cadfc)

 

지수가 분수인 경우에 정의한 수식을 적용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

(ap)q=ecadfcc

 

아래와 같이 약분해줍니다. 

 

(ap)q=ecadf

 

지수가 분수인 경우에 정의한 수식을 적용하여 아래와 같이 변형합시다. 

 

(ap)q=adfce

 

우변에서 치환했던 값을 원래대로 되돌려 놓겠습니다. 

 

(ap)q=apq

 

지수가 유리수일 때, 세번째 지수법칙이 성립한다는 것을 보였습니다. 

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