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지수법칙 유리수버전 ③ 거듭제곱1
지수를 유리수 영역으로 확장했습니다. 지수가 분수형태인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다.
이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 세번째 지수법칙인 거듭제곱1에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 정수인 경우 성립하는 거듭제곱1 법칙은 아래와 같습니다.
(1)
위 식 좌변의 p와 q를 유리수라고 놓고 좌변을 변형하여 우변을 유도할 것입니다. 성공한다면 위 법칙은 유리수 영역에서도 성립하는 것입니다.
p와 q가 아래와 같은 유리수라고 합시다.
위 식을 1번 식의 좌변에 대입하면 1번 식의 좌변은 아래와 같이 변형됩니다.
지수가 분수인 경우에 정의한 수식을 적용하여 우변의 괄호 안을 먼저 변형하면 아래와 같습니다.
아래와 같이 한번 더 변형합시다.
거듭제곱근의 성질 6번째를 이용하여 아래와 같이 변형할 수 있습니다.
거듭제곱근의 성질 4번째를 이용하여 아래와 같이 변형합시다.
지수가 분수인 경우에 정의한 수식을 적용하여 아래와 같이 변형합시다.
아래와 같이 약분해줍니다.
지수가 분수인 경우에 정의한 수식을 적용하여 아래와 같이 변형합시다.
우변에서 치환했던 값을 원래대로 되돌려 놓겠습니다.
지수가 유리수일 때, 세번째 지수법칙이 성립한다는 것을 보였습니다.
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