[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (26) 지수를 유리수로 확장

지수를 유리수로 확장

지금까지 우리는 지수를 자연수에서 정수로 확장했습니다. 정수로 확장하기 위해 아래 두 가지 규칙을 정했습니다. 

 

$a^0=1$

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

 

오늘은 유리수로 확장해봅시다. 유리수는 정수와 정수의 비(ratio)로 표현되는 수 입니다. 아래와 같이 나타냅니다.

 

$\frac{m}{n}$

 

자연수와 정수는 유리수에 포함됩니다. 예를들어 자연수 3은 m이 3이고 n이 1인 유리수입니다. 

 

지수를 유리수로 확장한다는 것은 $a^{\frac{m}{n}}$ 를 정의한다는 것입니다. 어떻게 정의해야 할까요. 분자인 m은 거듭제곱으로 분모인 n은 제곱근으로 정의해 보았습니다. 

 

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

 

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

 

제곱근은 현재 양수의 제곱근만 다룬 상태이므로 a는 양수인 경우만 다루겠습니다. n이 1이면 위 식 우변의 제곱근이 정의되지 않으므로 n은 2보다 같거나 큰 정수인 경우만 다루겠습니다. 

 

위와 같이 정의해도 괜찮을지 다음시간부터 확인해봅시다.