[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (20) 지수법칙 정수버전 ① 곱셈

지수법칙 정수버전 ① 곱셈

지수를 정수 영역으로 확장했습니다. 지수가 0인 경우와 음수인 경우를 정의한 것입니다. 아래와 같이 정의했습니다. 

 

$1=a^0$

$\frac{1}{a^n}=a^{-n}$

 

이렇게 정의해도 괜찮은 것인지는 확인해봐야합니다. 지수법칙들이 성립하는지를 알아볼 것인데요. 오늘은 첫번째 지수법칙인 곱셈에서 성립하는지 알아봅시다. 지수가 자연수인 경우 곱셈 법칙은 아래와 같습니다. 

 

$a^m a^n=a^{m+n}$

 

1) n이 0인 경우

위 식에 n에 0을 넣으면 아래와 같습니다. 

 

$a^m a^0=a^{m}$

 

$a^0=1$ 로 정의했으므로 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$a^m =a^{m}$

 

등식이 성립하므로 n이 0일 때 곱셈에 대한 지수법칙이 성립함을 알 수 있습니다. 

 

2) n이 음수인 경우

n이 음수인 경우 지수법칙의 좌변은 아래와 같이 변형됩니다. 

 

$a^m \frac{1}{a^{-n}}=a^{m+n}$

 

m과 -n 은 자연수이므로 자연수의 지수법칙의 나눗셈 법칙을 적용할 수 있습니다. 나눗셈 법칙은 $a^m \div a^n=a^{m-n}$ 입니다. 좌변에 적용합시다. 

 

$a^{m+n}=a^{m+n}$

 

등식이 성립하므로 n이 음수일 때 곱셈에 대한 지수법칙이 성립함을 알 수 있습니다.