[5분 고등수학] 이차곡선 한눈에보기

 

 

이차곡선을 가장 먼저 발견한 사람은 '아폴로니우스'입니다. 원뿔 두개를 아래와 같이 붙이고, 하나의 평면으로 이리저리 자른 모양에서 이차곡선을 발견했습니다. 

 

출처 : https://www.ck12.org/book/CK-12-Algebra-II-with-Trigonometry-Concepts/section/10.0/

이렇게 잘라내다 발견한 것도 대단한데, 아폴로니우스는 위 각각 도형들의 기하학적 정의까지 찾아냅니다. 

 

예를들어 타원의 기하학적 정의는 "두 점에서 거리의 합이 같은 점들의 집합" 인데, 이런 정의를 찾아낸 것이죠. 

 

시간이 흘러서 좌표평면이라는 개념이 등장하게 됐고, x와 y의 2차식으로 만들 수 있는 곡선이 궁금했습니다. 그래서 아래와 같이 이차식을 정의해봤습니다. 

$a{x}^2+b{y}^2+cxy+dx+ey+f=0$

위와 같은 식이 x와 y로 만들 수 있는 모든 이차식을 포함하고 있습니다. 원은 타원에 포함되기 때문에 아래와 같은 세개의 이차곡선을 정의할 수 있었습니다. 

 

포물선, 타원, 쌍곡선

 

이렇게 만들어진 이차곡선은 재밌게도, 아폴로니우스가 원뿔대를 통해 찾아낸 것과 같았습니다. 

 

그래서 이 이차곡선들을 '원뿔곡선'이라고도 부릅니다. 

 

앞으로 이차곡선들을 배울텐데요. 어떤 순서로, 어떤 내용들을 배우게 되는지 간단히 살펴봅시다. 

 

먼저 이차곡선들의 기하학적 정의를 배울겁니다. 그리고 나서 기하학적 정의를 수식으로 표현하여, 이차곡선의 방정식을 유도할겁니다. 이후에는 '접선의 방정식'을 공부할 것입니다. 

 

1) 이차곡선의 기하학적 정의

2) 이차곡선의 방정식 유도

3) 접선의 방정식

 

접선의 방정식을 구할 때, 미분을 사용하게 됩니다. 포물선의 미분은 어렵지 않은데, 쌍곡선이나 타원은 '음함수'형태입니다. y=f(x) 형태가 아니라 f(x,y)=0 의 형태입니다. 아래와 같이 말이죠. 

 

$3{x}^2-2{y}^2=1$

따라서 중간에 음함수의 미분을 배우게 됩니다.