[5분 고등수학] 포물선의 방정식 유도

 

 

포물선의 방정식을 유도해볼겁니다. 먼저 포물선의 정의부터 알아봅시다. 

"평면 위에 있는 고정된 점 $F$와, 이 점을 지나지 않는 고정된 직선 $l$에 이르는 거리가 같은 점의 자취"

위 정의에서 고정된 점을 '정점'이라고 부릅니다. 고정된 직선은 '정직선'이라고 부릅니다. 자취라는 말이 생소하신 분들은 모임 또는 집합으로 이해하시면 됩니다. 

이 정의를 좌표평면에 표현해보겠습니다. 좌표평면에 점 $F$가 있고, 이 점을 지나지 않는 직선 $l$이 있습니다. 
 

점 $F$와 직선 $l$에 이르는 거리가 같은 점들을 모아봤더니, 포물선이 되었습니다. 
 

다행히 우리가 배우는 고등학교 과정에서는 직선 $l$이 $x$축이나 $y$축에 평행한 직선만을 다룹니다. 

이번에는 포물선에 방정식을 유도해봅시다. 포물선의 방정식은 직선 $l$이 $x$축에 평행한 경우와 $y$축에 평행한 경우로 나뉩니다. 

 

1. 직선 $l$이 $y$축에 평행한 경우

아래와 같이 가장 간단하고 이상적인 상황을 가정하겠습니다. 점 $F$와 직선 $l$이 원점으로 부터 같은 거리만큼 떨어져 있는 상황입니다. 

 

 
점 $F$의 좌표를 $(p,0)$이라고 한다면, 직선의 방정식은 $x=-p$가 됩니다. $p$가 음수라면 직선과 점의 위치가 바뀌게됩니다. 

 

  
직선 $l$로 부터 떨어진 거리와 점 $F$로 부터 떨어진 거리가 같은 어떤 점을 $P(x,y)$ 라고 놓겠습니다. 수선의 발을 $H$라고 두겠습니다. 
 

이제 등식을 하나 세워볼 수 있습니다. 선분 $HP$와 $PF$의 길이가 같다는 등식입니다. 좌표를 이용해서 나타내면 아래와 같습니다. 

$x+p=\sqrt{{\left(x-p\right)}^2+{y}^2}$

양변을 제곱합시다. 

${\left({x+p}\right)}^2={\left(x-p\right)}^2+{y}^2$

전개합시다. 

${x}^2+2px+{p}^2={x}^2-2px+{p}^2+{y}^2$

소거하고 정리합시다. 

$2px=-2px+{y}^2$

아래와 같은 식을 얻게됩니다. p가 음수일 때도 계산해보면 아래와 동일한 결과를 얻습니다. 

$4px={y}^2$

 

 

2. 직선 $l$이 $x$축에 평행한 경우

아래와 같은 상황을 가정하겠습니다. 
 

직선 $l$로 부터 떨어진 거리와 점 $F$로 부터 떨어진 거리가 같은 어떤 점을 $P(x,y)$ 라고 놓겠습니다. 수선의 발을 H라고 두겠습니다. 

 

  
이제 등식을 하나 세워볼 수 있습니다. 선분 $HP$와 $PF$의 길이가 같다는 등식입니다. 좌표를 이용해서 나타내면 아래와 같습니다. 

$y+p=\sqrt{{\left(y-p\right)}^2+{x}^2}$

양변을 제곱하겠습니다. 

${\left({y+p}\right)}^2={\left(y-p\right)}^2+{x}^2$

전개합시다. 

${y}^2+2py+{p}^2={y}^2-2py+{p}^2+{x}^2$

소거하고 정리합시다. 

$2py=-2py+{x}^2$

아래와 같은 식을 얻게됩니다. $p$가 음수일 때도 계산해보면 아래와 동일한 결과를 얻습니다. 

$4py={x}^2$