[5분 고등수학] 이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차

X라는 확률변수가 있다고 해봅시다. x라는 확률변수는 x1부터 xn까지의 값을 갖구요. 각각의 확률은 p1부터 pn이라고 합시다. 아래와 같이 표로 나타낼 수 있습니다. 

 

X	$x_{1}$	$x_{2}$	...	$x_{n}$	합계
$P(X=x)$	$p_{1}$	$p_{2}$	...	$p_{n}$	1

먼저 이산확률변수의 평균을 구해봅시다. 

 

1) 평균

평균은 기댓값이라고도 합니다. 확률변수 X의 기댓값은 영어로 expectation이기 때문에 앞글자 E를 따서 E(X)라고 놓습니다. E(X)는 아래와 같이 계산합니다. 

$E\left(X\right)={x}_1{p}_1+{x}_2{p}_2+...+{x}_n{p}_n$

간단한 예제를 통해서 직관적으로 이해해봅시다. 

동전던지기 예제가 있습니다. 동전던지기를 하는데, 앞면이 나오면 500원을 벌고 뒷면이 나오면 1000원을 번다고 합시다. 그렇다면 동전을 한 번 던질 때 얼마를 기대할 수 있을까요? 

앞면에게 기대할 수 있는 값은 250원이고, 뒷면에 기대할 수 있는 값은 500원이 되겠죠. 이 과정을 적어보면 아래와 같습니다. 

$500\times \frac{1}{2}+1000\times \frac{1}{2}$

위 상황을 확률변수 표로 표현하면 아래와 같습니다. 

X	500	1000
P(X)	0.5	0.5

위 표의 확률변수의 평균을 구하니 아래가 나왔습니다. 

$500\times \frac{1}{2}+1000\times \frac{1}{2}$

이번에는 다른 예시를 들겠습니다. 상자 안에 1이 3개, 2가 2개, 3이 1개 들어있다고 해봅시다.

1 1 1 2 2 3

상자에서 숫자 하나를 뽑을 것인데, 기댓값이 얼마인지 구해봅시다. 확률변수로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

X	1	2	3
P(X)	3/6	2/6	1/6

기댓값을 구하면 아래와 같습니다. 

$1\times \frac{3}{6}+2\times \frac{2}{6}+3\times \frac{1}{6}$

 

 

2) 분산

이번에는 분산을 구해봅시다. 분산의 정의는 편차의 제곱의 평균입니다. 편차는 (변량-평균)입니다. 따라서 분산은 아래와 같이 표현됩니다. 

$V\left(X\right)=E\left({{\left({X-m}\right)}^2}\right)$

위에서 배운 기댓값의 원리를 적용하면 아래와 같이 계산할 수 있습니다 

$V\left(X\right)={{\left({{x}_1-m}\right)}^2}\times {p}_1+...+{{\left({{x}_n-m}\right)}^2}\times {p}_n$

시그마 형태로 표현하면 아래와 같습니다. 

$V\left(X\right)=\sum _{i=1}^n\left\{{{{\left({{x}_i-m}\right)}^2\times {p}_i}}\right\}$

우리가 이미 알고 있는 사실이 하나 있는데요. 분산을 변량의 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 빼는 것으로도 구할 수 있다는 것입니다. 

$V\left(X\right)=E\left({{X}^2}\right)-{m}^2$​

이 공식을 아래 식을 통해 유도해봅시다. 

$V\left(X\right)=\sum _{i=1}^n\left\{{{{\left({{x}_i-m}\right)}^2\times {p}_i}}\right\}$

제곱을 전개하겠습니다. 

$V\left(X\right)=\sum _{i=1}^n\left\{{{\left({{x}_i^2-2{x}_im+{m}^2}\right)\times {p}_i}}\right\}$

아래와 같이 분리해서 쓰겠습니다. 

$V\left(X\right)=\sum _{i=1}^n{x}_i^2\times {p}_i-2m\textcolor{#ff0010}{\sum _{i=1}^n{x}_i\times {p}_i}+{m}^2\textcolor{#00b3f2}{\sum _{i=1}^n{p}_i}$

위 식에서 빨간색 항은 m이고, 파란색 항은 1입니다. 따라서 아래와 같이 변형됩니다. 

$V\left(X\right)=\sum _{i=1}^n{x}_i^2\times {p}_i-2{m}^2+{m}^2$

계산하면 아래와 같습니다. 

$V\left(X\right)=\sum _{i=1}^n{x}_i^2\times {p}_i-{m}^2$

우변의 첫항은 변량의 제곱의 평균이므로 아래와 같습니다. 

$V\left(X\right)=E\left({X}^2\right)-{m}^2$

표준편차는 위 식에 루트를 씌워서 구하면 됩니다.