[5분 고등수학] 조건부 확률 & 확률의 곱셈정리

 

 

먼저 조건부확률의 정의를 말씀드리겠습니다. 조건부확률은 사건 A가 일어났다는 조건 하에, 사건 B가 일어날 호가률입니다. 기호로는 아래와 같이 나타냅니다. 

$P\left({B}|{A}\right)$

위 수식의 나온 기호 | 는 bar라고 부릅니다. 집합의 조건제시법에서도 사용된 기호입니다. 

조건부 확률을 계산해봅시다. 아래와 같은 표본공간이 있습니다. 

 

이 표본공간에서 A라는 사건이 발생한겁니다. A가 발생했기 때문에, 표본공간이 A로 좁혀집니다.  

 

이런 상황에서 B가 발생하는 사건은 A와 B가 겹치는 부분이 됩니다. 따라서 확률은 아래와 같이 계산됩니다. 

$P\left({B}|{A}\right)=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(A\right)}$

우변의 분자와 분모를 n(S)로 나눠줍시다. 

$P\left({B}|{A}\right)=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(A\right)}=\frac{\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(S\right)}}{\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}}$

조건부확률은 아래와 같이 계산됩니다. 

$P\left({B}|{A}\right)==\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}$

확률의 곱셈정리는 조건부확률을 변형한 식입니다. 위 식의 양변에 P(A)를 곱합시다. 아래 식이 확률의 곱셈정리입다. 

$P\left(A\cap B\right)=P\left({B}|{A}\right)P\left(A\right)$

A와 B가 동시에 발생할 확률은, A가 발생한 확률에다가 A가 발생했을 때 B가 발생한 확률의 곱이라는 의미입니다.