[5분 고등수학] 두 원의 공통 내접선의 길이

 

 

두 원이 있습니다. 두개의 내접선을 그릴 수 있습니다. 내접선은 안에서 접하는 선입니다. 두 원에는 겹치는 부분이 없어야 합니다. 공통 외접선은 겹치는 부분이 있어도 존재하지만 공통내접선은 두 원에 겹치는 부분 이 있다면 존재하지 않습니다. 

 

 

 

 

내접선의 길이를 구해봅시다. 내접선의 길이는 내접선이 원과 접하는 두 점 사이의 거리입니다. 원과 접하는 두 점에서 각 원의 중심을 연결한 선분을 긋겠습니다. 아래와 같습니다. 공통내접선과는 수직으로 만납니다. 원에 한 선이 접하고 있을 때, 원의 중심에서 접점에 그은 선은 접선과 수직관계이기 때문입니다. 

 

 

두 원 중 작은 원의 반지름을 r이라고 놓고, 큰 원의 반지름을 R이라고 놓겠습니다. 두 원의 중심을 연결한 선분도 긋겠습니다. 

 

 

각 원의 중심의 좌표를 $(x_{1},y_{1})$ 과 $(x_{2},y_{2})$ 라고 놓겠습니다. 

 

공통내접선과 평행한 선분을 아래와 같이 그어서 직각삼각형을 만들어줍니다. 

 

삼각형의 밑변의 길이가 공통내접선의 길이입니다. 삼각형의 높이는 $R+r$입니다. 삼각형의 빗변의 길이는 두 원의 중심사이의 거리입니다. 빗변의 길이를 $l$ 이라고 놓고, 공통내접선의 길이를 $P$ 라고 놓겠습니다.

 

 

두 원의 중심사이의 거리는 아래와 같습니다.

 

$l=\sqrt{ (x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} }$

 

피타고라스 정리를 적용하면 아래와 같습니다. 

 

$l^{2}=(R+r)^{2}+P^{2}$

 

$P$에 대해서 표현합시다. 

 

$P=\sqrt{  l^{2}-(R+r)^{2}   }$

 

위에서 구한 l을 대입합시다. 

 

$P=\sqrt{ (x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} -(R+r)^{2}   }$

 

정리하면 이렇습니다. 두 원의 중심의 좌표를 알고 있고, 두 원의 반지름의 길이를 알고 있다면 아래 수식을 이용하여 공통내접선의 길이를 구할 수 있습니다. 

 

$P=\sqrt{ (x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2} -(R+r)^{2}   }$