[5분 고등수학] 두 직선의 교점을 지나는 직선

 

 

2차원 평면에서, 평행하지 않는 두 직선은 항상 한 점에서 만납니다. 

 

 

이 교점을 지나는 직선은 무수히 많습니다. 이 교점을 지나는 직선을 방정식으로 표현해봅시다. 두 직선을 각각 $y=ax+b$ 와 $y=a'x+b'$ 이라고 놓겠습니다. 두 직선을 연립해서 x와 y를 구합시다. 

 

먼저 x좌표를 구해봅시다.

 

$y=ax+b$

$y=a'x+b'$

 

위 수식에서 아래 수식을 뻅니다. 

 

$0=(a-a')x+b-b'$

 

x에 대해 정리하면 아래와 같습니다. 

 

$x=\frac{b'-b}{a-a'}$

 

이번에는 y좌표를 구해봅시다. 아래와 같이 두 방정식을 변형합시다. 

 

$a'y=aa'x+a'b$

$ay=aa'x+ab'$

 

위 수식에서 아래 수식을 뺍시다. 

 

$(a'-a)y=a'b-ab'$

 

y에 대해 정리하면 아래와 같습니다. 

 

$y=\frac{a'b-ab'}{a'-a}$

 

분모와 분자에 -를 곱해서 아래와 같이 바꿔줍니다. 

 

$y=\frac{ab'-a'b}{a-a'}$

 

따라서 교점의 좌표는 아래와 같습니다. 

 

$\left( \frac{b'-b}{a-a'} ,  \frac{ab'-a'b}{a-a'}  \right)$

 

이 점을 지나는 직선의 방정식은 아래와 같습니다. 

 

$y=m \left(x- \frac{b'-b}{a-a'} \right) +\frac{ab'-a'b}{a-a'}$

 

m이 무한대로 가는 경우 가까워져 가는 직선은 $x=\frac{b'-b}{a-a'}$ 입니다. 따라서 두 직선의 교점을 지나는 직선은 아래와 같습니다. 

 

$y=m \left(x- \frac{b'-b}{a-a'} \right) +\frac{ab'-a'b}{a-a'}$ 또는  $x=\frac{b'-b}{a-a'}$ 

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이번에는 항등식을 이용해서 표현해봅시다. 두 직선의 교점을 지나는 직선을 k에 대한 항등식으로 표현할 수 있습니다. 

 

$y-ax-b +k(y-a'x-b')=0$ 

 

위 수식은 k에 상관없이 성립해야 하므로 y-ax-b=0 과 y-a'x-b'=0 을 항상 만족합니다. 따라서 교점을 반드시 지납니다. 또한 일차식이므로 직선입니다. 따라서 두 직선의 교점을 지나는 직선을 나타냅니다. 

 

이 직선이 표현할 수 없는 직선이 있습니다. $y-a'x-b'$ 을 표현할 수가 없습니다. k가 무한대로 갈 때 가까워져 가는 직선입니다. 따라서 두 직선의 교점을 지나는 직선은 아래와 같습니다. 

 

$y-ax-b +k(y-a'x-b')=0$  또는  $y=a'x+b'$