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etc/쉬운 수학이야기

왜 원의 넓이를 미분하면 둘레일까?

by bigpicture 2021. 3. 7.
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반지름 r인 원의 넓이는 아래와 같습니다. 

 

A=πr2

 

양변을 r로 미분해봅시다. 

 

dAdr=2πr

 

둘레의 길이가 나옵니다. 그래프로 보면 요 기울기가 2πr 인 것입니다. 

 

 

왜 이런 결과가 나오는걸까요? 단지 우연일까요? 이유를 알아봅시다. 

 

원의 넓이를 미분하면 왜 둘레인가

원의 넓이를 미분한다는 것은 아래 극한값을 구하는 것입니다. 

 

dAdr=limΔr0ΔAΔr

 

r이 변할 때, A가 변하는 비율인 순간변화율입니다. 평균변화율을 구하고 극한을 취하겠습니다. ΔrΔA는 아래와 같습니다. 

 

 

ΔA 는 아래와 같이 계산할 수 있습니다. 

 

ΔA=π(r+Δr)2πr2

 

전개합니다.

 

ΔA=πr2+π2rΔr+π(Δr)2πr2

 

계산해줍니다. 

 

ΔA=π2rΔr+π(Δr)2

 

양변을 Δr로 나눠줍니다. 

 

ΔAΔr=2πr+πΔr

 

양변에 극한을 취합니다. 

 

limΔr0ΔAΔr=limΔr02πr+limΔr0πΔr

 

아래와 같이 계산됩니다. 

 

dAdr=2πr

 

A를 r로 미분한 결과입니다. 결과는 나왔는데, 직관적으로도 이해해봅시다. 위 그림에서 넓이의 변화량 부분을 길게 펴면 아래와 같습니다. r의 변화량인  Δr을 0으로 보내면, 넓이의 변화량은 직사각형의 넓이와 같아집니다. r에서 둘레를 곱한 결과가 넓이인 것입니다. 비례 상수가 둘레인 것이죠. 따라서 r에 대한 A의 변화율은 2πr 이 됩니다. 

 

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