왜 원의 넓이를 미분하면 둘레일까?

 

 

반지름 r인 원의 넓이는 아래와 같습니다. 

 

$A=\pi r^2$

 

양변을 r로 미분해봅시다. 

 

$\frac{dA}{dr}=2\pi r$

 

둘레의 길이가 나옵니다. 그래프로 보면 요 기울기가 $2\pi r$ 인 것입니다. 

 

 

왜 이런 결과가 나오는걸까요? 단지 우연일까요? 이유를 알아봅시다. 

 

원의 넓이를 미분하면 왜 둘레인가

원의 넓이를 미분한다는 것은 아래 극한값을 구하는 것입니다. 

 

$\frac{dA}{dr}=\lim_{\Delta r \rightarrow 0}\frac{\Delta A}{\Delta r} $

 

r이 변할 때, A가 변하는 비율인 순간변화율입니다. 평균변화율을 구하고 극한을 취하겠습니다. $\Delta r$과 $\Delta A$는 아래와 같습니다. 

 

 

$\Delta A$ 는 아래와 같이 계산할 수 있습니다. 

 

$\Delta A = \pi \left ( r + \Delta r \right )^{2}-\pi r^{2}$

 

전개합니다.

 

$\Delta A = \pi r^{2}+\pi 2r \Delta r+ \pi \left( \Delta r \right )^{2} -\pi r^{2}$

 

계산해줍니다. 

 

$\Delta A =\pi 2r \Delta r+ \pi \left( \Delta r \right )^{2}$

 

양변을 $\Delta r$로 나눠줍니다. 

 

$\frac{\Delta A}{\Delta r} =2\pi r + \pi \Delta r$

 

양변에 극한을 취합니다. 

 

$\lim_{\Delta r \rightarrow 0} \frac{\Delta A}{\Delta r} =\lim_{\Delta r \rightarrow 0}2\pi r +\lim_{\Delta r \rightarrow 0} \pi \Delta r$

 

아래와 같이 계산됩니다. 

 

$\frac{dA}{dr} =2\pi r $

 

A를 r로 미분한 결과입니다. 결과는 나왔는데, 직관적으로도 이해해봅시다. 위 그림에서 넓이의 변화량 부분을 길게 펴면 아래와 같습니다. r의 변화량인  $\Delta r$을 0으로 보내면, 넓이의 변화량은 직사각형의 넓이와 같아집니다. r에서 둘레를 곱한 결과가 넓이인 것입니다. 비례 상수가 둘레인 것이죠. 따라서 r에 대한 A의 변화율은 $ 2\pi r$ 이 됩니다.