반응형
반지름 r인 원의 넓이는 아래와 같습니다.
양변을 r로 미분해봅시다.
둘레의 길이가 나옵니다. 그래프로 보면 요 기울기가 인 것입니다.

왜 이런 결과가 나오는걸까요? 단지 우연일까요? 이유를 알아봅시다.
원의 넓이를 미분하면 왜 둘레인가
원의 넓이를 미분한다는 것은 아래 극한값을 구하는 것입니다.
r이 변할 때, A가 변하는 비율인 순간변화율입니다. 평균변화율을 구하고 극한을 취하겠습니다. 과 는 아래와 같습니다.

는 아래와 같이 계산할 수 있습니다.
전개합니다.
계산해줍니다.
양변을 로 나눠줍니다.
양변에 극한을 취합니다.
아래와 같이 계산됩니다.
A를 r로 미분한 결과입니다. 결과는 나왔는데, 직관적으로도 이해해봅시다. 위 그림에서 넓이의 변화량 부분을 길게 펴면 아래와 같습니다. r의 변화량인 을 0으로 보내면, 넓이의 변화량은 직사각형의 넓이와 같아집니다. r에서 둘레를 곱한 결과가 넓이인 것입니다. 비례 상수가 둘레인 것이죠. 따라서 r에 대한 A의 변화율은 이 됩니다.

반응형
'etc > 쉬운 수학이야기' 카테고리의 다른 글
인간의 심장은 평생 몇번이나 뛸까 (0) | 2021.03.15 |
---|---|
비례식을 이용한 피타고라스정리 증명 (0) | 2021.03.13 |
초평면 (Hyperplane) (2) | 2021.03.09 |
아르키메데스 방법으로 파이 구하기 (5) 내접 다각형 (0) | 2021.03.08 |
10일 만에 주식의 신이 되는 방법 (0) | 2021.02.27 |
아르키메데스 방법으로 파이 구하기 (4) 외접 다각형 (0) | 2021.02.26 |
아르키메데스 방법으로 파이 구하기 (3) 자료 출처 (0) | 2021.02.25 |
아르키메데스 방법으로 파이 구하기 (2) n각형을 이용한 부등식 세우기 (0) | 2021.02.23 |
댓글