[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (19) 켤레근의 성질

켤레근의 성질

---

켤레근의 성질에 대해 공부해봅시다. 먼저 아래의 근의공식을 봅시다. 근이 쌍을 이루고 있는 것을 알 수 있습니다. 이런 근이 켤레근입니다. 

켤레근 자체를 이해하는 것은 매우 간단합니다. 중요한 내용은 따로 있는데 뒤에서 다루기로 하고, 일단 예를 하나 들어볼게요. 의 근을 구하면 아래와 같습니다. 

둘의 관계는 켤레근입니다. 중요한 질문을 하나 해보겠습니다. 그렇다면, 만약 어떤 이차함수의 한 근이 일 때, 다른 한 근은  라고 할 수 있을까요? 정답은 ‘No’ 입니다. 반례가 있는데 그 반례를 말씀드리겠습니다. 

의 두 근을 구하면 아래와 같습니다. 

  

한 근이  인데 다른 한 근이 이 아니라  입니다. 왜 이런 일이 발생했을까요? 이유는’계수’입니다. 이차함수의 계수가 무리수이기 때문에 이런 일이 발생합니다. 따라서 우리가 어떤 이차함수의 한 근이 일 때, 다른 한 근은 이라는 말이 참이 되도록 하려면 한가지 조건을 추가해야 합니다. 무엇인지 다 아시겠죠? 계수가 ‘유리수’라는 조건이 필요합니다. 

이번에는 허근으로 가봅시다. 마찬가지로 예를 하나 들어봅시다. 의 근을 구하면 아래와 같습니다.

둘의 관계가 켤레근입니다. 만약 이차방정식의 한 근이 라면 다른 한 근은 라고 말 할 수 있을까요? 없겠죠? 반례가 있습니다. 잠깐 읽기를 멈추고 반례를 직접 찾아보시는 것도 좋을 것 같아요. 반례는 입니다. 두 근을 구하면 아래와 같습니다. 

한 근이 인데 다른 근이 가 아니라 입니다. 이유가 뭘까요? 마찬가지로 ‘계수’ 때문입니다. 계수가 ‘실수’라는 조건이 필요합니다. 

전체 모듈 한눈에보기 링크