[모듈식 수학2] 2.미분 (19) 미분을 이용한 나머지정리

[수학2]-[2.미분]-[①미분]-[(19) 미분을 이용한 나머지 정리]

미분을 이용한 나머지 정리

나머지정리가 무엇이었는지 먼저 복습해봅시다. 나머지정리는 수학 (상)에 나오는 내용입니다. 

나머지정리를 풀어서 설명하면 '다항식의 나눗셈을 할 때, 나머지를 쉽게 구하는 방법' 입니다. 다항식 f(x)를 (x-a) 로 나눌 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R 라고 한다면 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 

미분을 나머지정리에 어떻게 이용할 수 있을지 공부해봅시다. 

이차 이상의 다항식 f(x)가 있다고 합시다. 이 이차다항식을 (x-a)² 으로 나눴습니다. 나머지정리를 적용하여 나타내면 아래와 같습니다. 

위 식의 양 변을 미분해봅시다. 

1과 2에 각각 a를 대입하면 아래 두 식을 얻습니다. 

위 두 식을 연립하여 q를 구하면 아래와 같습니다. 

나머지는 px+q입니다. 위 두 식을 이용하여 나머지를 다시 쓰면 아래와 같습니다. 

f'(a)로 묶어줍시다. 

정리하면 아래와 같습니다. 

이차 이상의 다항식 f(x)를 (x-a)² 로 나눴을 때 나머지는  입니다. 

만약 나누어 떨어진다면 어떤 조건일 필요할까요? 나머지 가 0이 되어야 합니다. x에 상관없이 0이 되어야 하므로, f'(a)와 f(a)가 둘 다 0이어야 합니다. 

이차 이상의 다항식 f(x)가 (x-a)² 로 나누어 떨어질 조건은 f(a)=0 , f'(a)=0 이다.