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코시-슈바르츠 부등식
코시-슈바르츠 부등식은 프랑스 수학자 코시가 발견했고 독일의 슈바르츠가 수정하고 일반화한 부등식입니다. 겨우 이런 부등식에 거창한 이름이 붙었나 생각하시겠지만, 거창한 이름이 붙은데는 이유가 있습니다. 코시-슈바르츠 부등식은 고등학교 과정에서만 간단히 다뤄지는 것이지 수학에서 굉장히 중요한 부등식입니다. 확률론의 분산,공분산 등 다양한 분야에 적용됩니다.
실제로는 n차 부등식이지만, 가장 간단한 2차부터 다뤄보겠습니다. 모든 변수가 실수라는 조건이 붙습니다. 양수일 필요는 없습니다.
증명을 해봅시다. 양변을 전개하겠습니다.
정리합시다.
완전제곱식으로 정리됩니다.
위와 같이 증명이 되었습니다. 코시슈바르츠 부등식의 등호 성립조건을 구해봅시다. 바로 위의 식에서 부등호가 등호로 바꾸면 됩니다.
등호가 성립하려면 괄호 안이 0이 되어야 합니다. 따라서 아래 조건이 도출됩니다.
코시슈바르츠 부등식은 변수의 개수가 더 많아져도 성립합니다. (증명은 생략합니다.)
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