[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (46) 산술,기하,조화평균 무엇인가

산술,기하,조화평균 무엇인가

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평균에는 세가지가 있습니다. 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean)입니다. 우리가 흔히 알고 있는 평균은 산술평균입니다. 예를들면 시험점수의 평균을 구할 때 사용합니다. 수학이 90점, 영어가 100점이면 평균이 95점입니다. 이때의 평균이 산술평균입니다. 그런데 산술평균만으로는 평균이 표현되지 않는 경우가 있습니다. 

2년 전에 제 연봉이 A원이었다고 해봅시다. 작년에는 2배가 올랐구요. 올해는 다시 3배가 올랐습니다. 정리하면 아래와 같습니다. 

2년전 : A원

1년전 : 2A원

올해 : 6A원

매년 평균 몇배가 오른 것일까요? 두배, 그리고 6배가 올랐으니까. 산술평균으로 계산하면 4배입니다. 매년 4배씩 올랐다면 올해 연봉은 16A원입니다. 산술평균으로는 표현이 안됩니다. 이번에는 이렇게 생각해봅시다. 2년동안 총 6배가 올랐습니다. 매년 m배씩 올랐다고 한다면 아래 등식이 성립합니다. 

a를 구해봅시다. 

지금의 상황에서는 m이 더 적당한 평균 같습니다. 그렇죠? 이 m를 기하평균이라고 합니다. a,b,c,d의 기하평균을 구하면 어떻게 될까요? 아래와 같습니다. 

자, 그런데 기하평균으로도 평균이 표현되지 않는 경우가 있습니다. 등산을 하는 상황을 가정해봅시다. 등산로의 길이를 L 이라고 하겠습니다. 올라갈 때도 L이고, 내려갈 때도 L입니다. 올라갈 때와 내려갈 때의 속도가 다르다고 해봅시다. 올라갈 때의 속도는 V1이고, 내려갈 때의 속도는 V2입니다. 산을 올라가고 내려올 때의 평균 속도가 몇일까요 ? (V1+V2)/2 일까요? 평균 속력은 전체 거리를 소요된 전체 시간으로 나눠서 구합니다. 시간은 거리/속력 이므로 올라갈 때 걸린 시간은 L/V1, 내려갈 때 걸린 시간은 L/V2입니다. 따라서 평균속력은 아래와 같이 구합니다. 

이 평균이 조화평균입니다. 아래와 같이 변형하면 의미를 알 수 가 있습니다. 

조화평균은 역수의 평균의 역수입니다.