[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (45) 대표적인 절대 부등식들

대표적인 절대 부등식들

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알아두면 좋은 절대부등식들을 알아봅시다.

1) 

좌변은 아래와 같은 완전제곱식으로 바꿀 수 있습니다. 

완전제곱식은 항상 0보다 같거나 큽니다. 등호는 언제 성립할까요? 에서는 a가 -b일때, 에서는 a가 b일때 성립합니다. 

2) 

이번 식은 좀 어렵습니다. 변형 방법을 알아야 증명이 가능한데 변형 방법이 쉽게 생각할 수 있는 방법이 아닙니다. 이번 기회에 알고 넘어간다는 생각으로 배워봅시다. 먼저 양변에 2를 곱해줍니다. 

그리고 나서 아래와 같이 완전제곱식으로 만들 수 있는 항끼리 모아줍니다. 

완전제곱식으로 묶을 수 있는 식들이 보이시죠? 묶어봅시다. 

등호는 언제 성립할까요? a=b=c 일 때 성립합니다. 

3) 

3번의 절대부등식은 a,b,c가 모두 양수일 때 성립합니다. a,b,c가 모두 양수라고 가정하고 증명을 진행하겠습니다. 

먼저 3abc를 좌변으로 옮겨줍니다. 

좌변은 아래와 같이 인수분해됩니다. 

빨간색 식은 2번의 절대부등식에서 유도한 것처럼 아래와 같이 변형됩니다. 

빨간식은 항상 0보다 같거나 큽니다. x,y,z가 양수라고 가정했으므로 좌변의 식이 0보다 같거나 크게 됩니다. 

4) 

먼저 왼쪽의 식부터 증병해봅시다. 4-1식이라고 부르겠습니다. 양변을 제곱해줍니다. 양변을 제곱해도 부등호가 유지되는 이유는 양변이 모두 0 이상이기 때문입니다. 

이항하고 계산해줍니다.

위 부등식은 항상 성립하겠죠? 증명이 되었습니다. 

이번에는 4-2식을 증명해봅시다. 아래와 같이 이항해줍니다. 

양변을 제곱해줍니다. 

전개하고 계산합니다. 

왼쪽항을 좌변으로 이항하고, 편의를 위해 우변의 a-b를 b-a로 바꿔줍니다. 절댓값 안에 있으므로 바꿔줘도 상관 없습니다. 

위 부등식은 항상 성립하겠죠? 증명이 되었습니다.