[모듈식 수학 (하)] 1. 집합과 명제 (47) 산술,기하,조화평균의 대소관계

산술,기하,조화평균의 대소관계를 이용한 절대부등식

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지난시간에 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean)을 배웠습니다. 산술평균을 , 기하평균을 , 조화평균을 라고 하겠습니다. n개의 수에 대한 각각의 평균을 써봅시다. 

이러한 평균들의 대소관계를 비교해볼 것입니다. 간단한 상황에서 살펴보기 위해 수가 2개인 경우 부터 시작하겠습니다. 또한 수의 범위를 양수로 제한하겠습니다. 음수를 포함하게 되면 대소관계를 정의할 수 없기 때문입니다. 

먼저 산술평균과 기하평균을 비교해봅시다. 산술평균에서 기하평균을 뺴봅시다. 뺀 값이 0보다 같거나 크다는 것을 증명하면 됩니다. 

기하평균을 오른쪽 항으로 넘기고 2를 곱한 뒤에 제곱합니다. 

우변을 좌변으로 넘겨 정리합니다. 

좌변을 완전제곱식으로 만들 수 있습니다. 증명이 되었습니다. 

이번에는 기하평균과 조화평균을 비교해봅시다. 기하평균에서 조화평균을 빼봅시다. 뺀 값이 0보다 같거나 크다는 것을 증명하면 됩니다. 

아래와 같이 변형해줍니다. 

분모를 유리화해줍니다. 

루트항을 우변으로 넘겨줍니다. 

산술평균과 기하평균을 비교할때와 같은 형태의 식이 되었습니다. 같은 방법으로 양변을 제곱하고 완전제곱식을 만들어주면 증명이 됩니다. 따라서 아래와 같은 부등식일 성립합니다. 

일 떄, 

변수의 개수가 늘어나도 동일하게 성립합니다. (증명은 생략합니다.)

일 떄, 

위와 같은 부등식은 변수가 양수라는 조건에서 항상 성립하는 절대부등식입니다.