아르키메데스 방법으로 파이 구하기 (2) n각형을 이용한 부등식 세우기

 

 

아르키메데스 방법에서 n각형을 사용할 경우의 부등식을 구해봅시다. 우리가 일반적으로 생각할 수 있는 방법을 먼저 소개하겠습니다.

 

아래와 같이 내접n각형과 외접 n각형을 정의 할 수 있습니다. 

 

내접 n각형의 둘레의 길이는 $n\cdot 2\cdot sin\left ( \frac{180^{\circ}}{n} \right )$ 이고 외접원의 둘레의 길이는 $n\cdot 2\cdot tan\left ( \frac{180^{\circ}}{n} \right )$ 입니다.

 

따라서 아래 부등식이 성립합니다. 

 

$n\cdot 2\cdot sin\left ( \frac{180^{\circ}}{n} \right )<2\pi <n\cdot 2\cdot tan\left ( \frac{180^{\circ}}{n} \right )$

 

각 항을 2로 나눕시다. 

 

$n\cdot sin\left ( \frac{180^{\circ}}{n} \right )<\pi <n\cdot tan\left ( \frac{180^{\circ}}{n} \right )$

 

n을 무한대로 보내면 좌,우항이 파이로 수렴합니다. 근사값을 구하려면 n값에 원하는 만큼의 큰 수를 넣어야 합니다. 

 

그런데, 아르키메데스는 파이값을 구할 때 삼각함수를 사용하지 않았습니다. 아마 당시에는 삼각함수가 없었을 것입니다. 그렇다면 아르키메데스는 무려 96각형의 둘레 길이를 어떻게 구한걸까요?