[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (28) 유리식의 계산 (분모가 다항식의 곱)

수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(28) 유리식의 계산(분모가 다항식의 곱)]

 

유리식의 계산 (분모가 다항식의 곱)

 

유리식을 계산하는 방법입니다. 유리식을 계산한다는 것은 유리식을 최대한 간단히 만든다는 의미입니다. 누군가에게는 당연한 내용일 것이고, 누군가에게는 테크닉을 익히는 귀찮은 과정일겁니다. 이런저런 문제를 풀 때 유리식을 간단히 만들어야 하는 상황을 위한 준비라고 생각합니다. 아래와 같은 몇가지 유형이 있습니다. 

 

1) 분모차수 > 분자차수
2) 분모가 다항식의 곱

 

이번 글은 두번째 경우입니다. 아래 수식을 봅시다. 

 

$\frac{1}{AB}$

 

A와 B는 어떤 다항식입니다. 위 수식은 아래와 같이 두개의 분수로 나뉘집니다. 이를 "부분분수로 변형한다"라고 합니다. 

 

$\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}\left( \frac{1}{A}-\frac{1}{B} \right)$

 

등식이 성립하는 것은 쉽게 보일 수 있습니다. 우변을 통분하여 계산해보면 좌변이 나오는 것을 알 수 있습니다. 

 

$\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}\left( \frac{B-A}{AB} \right)$

 

위 등식이 사용되는 예를 들어봅시다. 

 

$\frac{3}{x(x+3)}+\frac{3}{(x+3)(x+6)}+\frac{3}{(x+6)(x+9)}$

 

위 수식에 부분분수 변형을 적용해봅시다.

 

$\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+3} \right) +\left( \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+6} \right) +\left( \frac{1}{x+6} - \frac{1}{x+9} \right)$

 

아래와 같이 소거가 가능합니다.

 

$\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+9} \right)$

 

통분하여 계산합시다. 

 

$ \frac{9}{x(x+9)} $