[모듈식 수학2] 1.함수의 극한과 연속 (24) 함수의 연속과 불연속

[수학2]-[1.함수의 극한과 연속]-[②함수의 연속]-[(24) 함수의 연속과 불연속]

함수의 연속과 불연속

우리는 함수의 극한에 대해 배운 상태입니다. x=a에서 극한이 존재한다는 것은 우극한과 좌극한이 같다는 조건만 만족하면 됐었습니다. 아래와 같이 그래프가 끊어져 있어도 상관 없었죠. 

심지어 함수값이 없어도 상관없었습니다. 

수식로 표현하면 아래와 같습니다. 

함수가 x=a에서 '연속'이려면 그래프가 끊어져있으면 안되고 연결되어있어야 합니다. 말로 하면 쉽습니다. "끊어지지 않고 연결되어 있으면 돼" 그런데 수학적으로는 어떻게 표현할까요? 

극한값과 함수값이 같으면 됩니다. 수식로 표현하면 아래와 같습니다. 

만약 어떤 함수가 x=a에서 연속이라면 아래의 세가지 조건을 만족합니다. 

1) x=a에서 극한값이 존재함

2) x=a에서 함수값이 존재함

3) x=a에서 극한값과 함수값이 같음

연속이 아닌 경우를 불연속이라고 합니다. 

x=a에서 함수의 극한값이 존재한다는 것과 함수가 연속이라는 것 중에 누가 더 큰 개념일까요? 극한이 존재한다는 것이 더 큰 개념입니다. 벤다이어그램으로 표현하면 아래와 같습니다. 

극한이 존재하는 경우들 중에서, 그 극한값이 함수 값과 같다면 연속이 되는 것입니다.