[모듈식 확률과 통계] 3.통계 (30) 표본평균의 통계량 (평균, 분산, 표준편차)

[확률과통계]-[3.통계]-[②통계적 추정]-[(30) 표본평균의 통계량 (평균, 분산, 표준편차)]

표본평균의 통계량 (평균, 분산, 표준편차)

모집단에서 크기 n인 표본을 여러개 뽑았다고 해봅시다. 적당히 k개라고 합시다. 위첨자를 뽑은 표본의 번호, 아래첨자를 표본의 원소번호라고 합시다. 첫번째 표본은 아래와 같이 표현됩니다. 

두번째 표본은 아래와 같이 표현됩니다. 

이런 표본이 k개 있는 것입니다. 

각 표본의 평균을 구하면 아래와 같습니다. 

이제 이 표본 평균들의 평균을 구할겁니다. 헷갈리시면 않됩니다. 표본평균이 아니라. 표본평균들을 가지고 '다시'평균을 구한겁니다. 표본은 시간만 있다면 무수히 많이 뽑을 수 있습니다. 따라서 표본평균의 평균을 구할 때, k를 무한대로 보내야합니다. 

놀랍게도, 표본평균의 평균은 모평균과 같아집니다. 

고등학교 과정에서 위 등식을 유도하지는 않습니다. 간단한 예시(주사위 던지기 등)를 이용하여 등식이 성립하는 한 경우를 보여주는 정도로 설명을 끝냅니다. 고등학교 과정으로 충분히 이해할 수 있는 내용이므로, 증명한 영상을 링크로 달아놓겠습니다. 

<표본평균의 평균이 모평균과 같은 이유>

https://www.youtube.com/watch?v=Je62uPML0L0

이번에는 표본평균의 분산을 구해봅시다. 

놀랍게도, 표본평균의 분산을은 모분산을 표본의 크기로 나눈 값과 같아집니다. 

표본평균의 평균과 마찬가지로 고등학교 과정에서 위 등식을 유도하지는 않습니다. 고등학교 과정으로 충분히 이해할 수 있는 내용이므로, 증명한 영상을 링크로 달아놓겠습니다. 

<표본평균의 분산이 모분산을 표본의 크기로 나눈 값인 이유>

https://www.youtube.com/watch?v=WfiRjHATlrg

표본평균의 표준편차는 분산에 루트를 씌우면 됩니다.