그래디언트의 이해 (2) 방향도함수

이변수함수인 $f(x,y)$에 그래디언트를 적용하면 아래와 같습니다. 

$\bigtriangledown f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{i}$

결과는 벡터입니다. 이 벡터의 크기와 방향이 어떤 의미를 갖는지 알아봅시다. 이 벡터를 이해하려면 방향도함수가 무엇인지 먼저 알아야 합니다. 

 

방향도함수

곡선 $y=f(x)$ 위의 한 점 $(x,y)$ 에서의 접선의 기울기는 아래와 같습니다.

$\frac{dy}{dx}=f'(x)$

$f(x)$와 같은 1변수 함수에서는 접선의 기울기가 하나의 값으로 정의됩니다. 이때 $f'(x)$를 도함수라고 부릅니다.

 

이번에는 도함수 개념을 이번수 함수 $f(x,y)$로 확장해봅시다. 좌표평면인 2차원에서 좌표공간인 3차원으로 확장한 것입니다. 3차원 공간에 곡면 $z=f(x,y)$가 있다고 합시다. 이 곡면 위의 한 점 $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ 에서의 접선의 기울기는 어떻게 구할까요? 접선이 무수히 많기 때문에 접선을 하나로 정의할 수는 없습니다. 하지만 특정한 방향을 설정한다면 접선의 기울기를 정의할 수 있습니다. 예를 들어 어떤 단위 벡터 $\vec{u}=(u_{x},u_{y})$ 방향으로의 접선의 기울기는 정의할 수 있습니다. 잠깐 상상해봅시다. 

 

곡면 위 한점 P를 지나는 무수히 많은 접선들을 떠올려봅시다. 이 접선들 중 xy 평면에 투영한 방향이 u와 같은 접선이 있을겁니다. 이 접선의 기울기가 단위 벡터 $\vec{u}=(u_{x},u_{y})$ 방향으로의 접선의 기울기입니다.

 

함수  $f(x,y)$ 위의 한 점 $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ 에서, 단위 벡터 $\vec{u}$ 방향으로의 접선의 기울기를 아래와 같은 기호로 표기하겠습니다. 

$D_{u}f(x_{0},y_{0})$ 

위 기울기를 계산해봅시다. $\vec{u}$ 방향의 접선은 점 $P(x_{0},y_{0},z_{0})$을 지나는 점평면 위에 있습니다. 점 $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ 에서의 접평면의 방정식은 아래와 같습니다.

$(z-z_{0})=f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})$

점 $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ 의 $(x_{0},y_{0})$가 벡터 u 방향으로 크기 1만큼 이동하면 $(x_{0}+u_{x},y_{0}+u_{y})$ 가 됩니다. 이때 z는 아래와 같습니다. 

$z=z_{0}+\frac{\partial f}{\partial x}u_{x}+\frac{\partial f}{\partial y}u_{y}$

z값의 변화량은 위 값에서 $z_{0}$ 를 빼면 되므로 아래와 같습니다. 

$\frac{\partial f}{\partial x}u_{x}+\frac{\partial f}{\partial y}u_{y}$

u방향으로 이동했으므로 밑변은 1이고, 높이는 위 값입니다. 기울기는 높이/밑변 이므로 위 값이 바로 $\vec{u}$  방향으로의 접선의 기울기입니다. $(x_{0},y_{0})$ 가 1만큼 변할 동안 $z_{0}$ 가 변한 양입니다. 방향도함수라고도 부릅니다. 따라서 아래 수식이 유도됩니다. 

$D_{u}f(x_{0},y_{0})=\frac{\partial f}{\partial x}u_{x}+\frac{\partial f}{\partial y}u_{y}$

 

점 $(x,y,z)$ 에서 벡터 $\vec{u}$ 방향으로의 방향도함수는 같습니다. 

$D_{u}f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}u_{x}+\frac{\partial f}{\partial y}u_{y}$

 

다음시간에는 방향도함수를 이용하여 그래디언트의 의미를 이해해봅시다.