감마함수에서도 재귀적 성질이 성립할까?

팩토리얼 함수는 아래와 같습니다. 

 

$f(n)=(n-1)!$

 

팩토리얼에서는 아래와 같은 성질이 성립합니다. 

 

$f(n+1)=n \times f(n)$

 

이런 성질을 재귀적 성질이라고 합니다. 유도는 쉽게 할 수 있습니다. 

 

$f(n+1)=n!$

 

$f(n+1)=n \times (n-1)!$

 

$f(n+1)=n \times f(n)$

 

우리가 지난시간에 유도한 감마함수에서도 이런 성질이 성립할까요? 한번 확인해봅시다. 

 

감마함수 적분형에 부분적분을 적용합니다.

 

$\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$

 

$\Gamma (x)=\left [ t^{x-1} (-e)^{-t} \right ]^{\infty}_{0} -\int_{0}^{\infty}(x-1)t^{x-2}(-e)^{-t}dt$

 

우변의 첫항을 봅시다. 무한대를 넣었을 때의 값을 알아야 합니다. 무한대를 넣었을 때의 값은 아래 극한값입니다. 

 

$\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{x-1}}{-e^{t}}$

 

마이너스를 밖으로 꺼내줍시다. 

 

$-\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{x-1}}{e^{t}}$

 

z-1 보다 큰 자연수 n을 하나 잡겠습니다.  t가 1보다 같거나 큰 범위에서 아래 부등식이 성립합니다. 

 

$0\leq \frac{t^{x-1}}{e^{t}}\leq \frac{t^{n}}{e^{t}}$

t를 무한대로 보내는 상황이라 위 부등식은 성립합니다. 

 

이제 로피탈 정리를 적용할겁니다. $x^{n}$ 은 n+1번 미분하면 0이 된다는 성질을 이용하겠습니다. 예를 들어 $x^{2}$ 이 있을 때, 한번 미분하면 2x, 두번 미분하면 2, 세번 미분하면 0입니다.

 

아래 극한값을 봅시다. 

 

$\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{n}}{e^{t}}$

 

분모와 분자를 n+1번 미분하면 분자는 0이고, 분모는 부호만 바뀌고 값은 그대로 입니다. 따라서 극한값이 0이 됩니다. 

 

샌드위치 정리에 의해 아래 극한값도 0입니다. 

 

$-\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{t^{x-1}}{e^{t}}$

 

우리가 구하던 식을 다시 봅시다. 

 

$\Gamma (x)=\left [ t^{x-1} (-e)^{-t} \right ]^{\infty}_{0} -\int_{0}^{\infty}(x-1)t^{x-2}(-e)^{-t}dt$

 

우변 첫항에 무한대를 넣으면 0, 0을 넣어도 0이므로, 값이 0이 됩니다. 

 

$\Gamma (x)= -\int_{0}^{\infty}(x-1)t^{x-2}(-e)^{-t}dt$

 

우변을 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\Gamma (x)= (x-1)\int_{0}^{\infty}t^{x-2}e^{-t}dt$

 

우변의 적분항은 $\Gamma (x-1)$ 입니다. 

 

$\Gamma (x)= (x-1)\Gamma (x-1)$

 

감마함수 적분형에서도 재귀적 성질이 성립한다는 것을 보였습니다. 자연수가 아닌 예를 들면 아래와 같습니다. 

 

$\Gamma (\frac{3}{2})= \frac{1}{2} \Gamma (\frac{1}{2})$