정의역의 확장

고등학교 수학 수열 단원에서는 자연수의 합 공식을 배웁니다. 아래 공식입니다.  

 

$1+2+ \dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

 

유도는 아래와 같이 하면됩니다. 

 

\begin{align}
1+2+ \dots +n&=S \\
n+\dots+2+1&=S
\end{align}

 

각 변을 더해줍니다. 

 

$\begin{align}
(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)=2S
\end{align}$

좌변의 n+1 이 n개 더해진 것이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$n(n+1)=2S$ 

 

따라서 1부터 n까지의 자연수의 합 S는 아래와 같습니다. 

 

$S=\frac{n(n+1)}{2}$

 

다시 처음 수식을 봅시다. 

 

$1+2+ \dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

 

이 수식을 보면 무슨 생각이 드시나요? 자연수의 합을 쉽게 계산 할 수 있겠다는 생각이 듭니다. 그런데 이 수식에는 또 다른 비밀이 있습니다. 좌변과 우변이 같아 보이지만 좌변을 우변으로 바꾸는 순간 좌변에서는 할 수 없었던 일을 할 수 있게 됩니다.

 

n의 자리에 자연수가 아닌 수를 대입할 수 있게 된 것입니다. 자연수가 아닌 수를 대입해도 값이 구해집니다. 

 

우변에 실수 x를 대입하겠습니다. x에 대한 함수가 됩니다. 

 

$f(x)=\frac{x(x+1)}{2}$

 

그래프로 그려봅시다. 

 

x=seq(0,10,0.1)
y=x*(x+1)/2

plot(x,y,type="l")

x_p=seq(0,10,1)
y_p=x_p*(x_p+1)/2
points(x_p,y_p,pch=19)

 

x가 자연수인 경우의 함수값은 1부터 x까지의 합입니다. 그리고 이 함수는 x가 자연수인 각 점들을 부드럽게 연결한 함수라고 할 수 있습니다. 

 

이와 같은 작업을 정의역의 확장 이라고 합니다. 위 경우에는 정의역이 자연수에서 실수로 확장됐죠. 

 

오일러는 정의역의 확장을 n!에 적용을 했구요. n!을 자연수가 아니라 실수 영역에서 정의하려는 시도를 한거죠. 예를들면 (1/2)! 을 정의해보고 싶었던 겁니다. 그 과정에서 오일러는 그 유명한 감마함수를 발견하게 됩니다.