오일러 공식 유도 (복소평면과 미분을 이용)

복소평면과 미분을 이용한 유도

 

노벨 물리학상 수상자이자 20세기 최고의 물리학자인 리차드 파인만이 "수학에서 가장 리마커블한 공식" 이라고 칭한 오일러 공식을 유도해봅시다. 

 

복소수는 복소평면에 나타낼 수 있습니다. 크기가 1인 복소수를 극좌표로 나타내면 아래와 같습니다.

 

$cos(x)+isin(x)$

 

이 값을 함수 $f(x)$ 라고 놓겠습니다. 

 

$f(x)=cos(x)+isin(x)$

 

양변을 $x$로 미분합시다.

 

$f'(x)=-sin(x)+icos(x)$

 

-1은 $i^{2}$ 이므로 아래와 같이 바꿔줍니다. 

 

$f'(x)=i^{2}sin(x)+icos(x)$ 

우변을 i로 묶어줍니다.  

$f'(x)=i\left ( isin(x)+cos(x) \right )$

 

우변의 괄호 안의 항은 f(x)입니다. 

 

$f'(x)=if(x)$

 

아래와 같이 f(x)로 양변을 나눠줍니다. 

 

$\frac{f'(x)}{f(x)}=i$

 

양변을 적분합시다. 

 

$ln(f(x))=ix+C$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$f(x)=e^{ix+C}$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$f(x)=e^{ix}e^{C}$

 

처음 식에서 $f(0)=1$ 입니다. 

 

$f(0)=e^{0}e^{C}=1$

 

따라서 $e^{C}=1$ 입니다.

 

$f(x)=e^{ix}$

 

따라서 아래 등식이 성립합니다. 

 

$f(x)=e^{ix}=cos(x)+isin(x)$

 

오일러공식이 유도 되었습니다. 

 

$e^{ix}=cos(x)+isin(x)$$